con RAÍZ incógnita | PROFEonline

Qué aprenderás en esta clase

Polinomio de tercer grado con una raíz desconocida: cómo plantear y resolver el sistema, con un ejemplo propio resuelto paso a paso.

Cuándo hay una raíz incógnita

En algunos ejercicios, el gráfico muestra solamente dos de las tres raíces de manera clara, o una de ellas no se puede leer con precisión. En ese caso hay una raíz incógnita, que se llama $\alpha$ , y el enunciado agrega más datos para poder hallarla. Se necesitan dos datos adicionales, porque hay dos incógnitas: $a$ y $\alpha$ .

El método

Se plantea $P(x) = a(x - \alpha)(x - r_1)(x - r_2)$ , con $r_1$ y $r_2$ las raíces conocidas. Se reemplazan los dos datos y se obtienen dos ecuaciones. Como el producto $a\alpha$ suele aparecer en las dos, se lo puede usar como una incógnita única y resolver sin complicaciones.

Un ejemplo propio resuelto

Sea un polinomio con raíces conocidas 1 y 4, tal que $P(0) = -12$ y $P(2) = -2$ . Se plantea $P(x) = a(x - \alpha)(x - 1)(x - 4)$ . Con $P(0)$ : $a(-\alpha)(-1)(-4) = -4a\alpha = -12$ , así que $a\alpha = 3$ . Con $P(2)$ : $a(2-\alpha)(1)(-2) = -4a + 2a\alpha = -2$ . Reemplazando $a\alpha = 3$ en esta segunda ecuación queda $-4a + 6 = -2$ , de donde $a = 2$ . Y como $a\alpha = 3$ , resulta $\alpha = \frac{3}{2}$ . El polinomio es $P(x) = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)(x-1)(x-4)$ .

Un cuidado con los datos

Los datos del enunciado tienen que ser compatibles con un polinomio de tercer grado. Si al resolver el sistema el coeficiente principal sale cero, es señal de que hay un error en los datos o en las cuentas, porque con $a = 0$ el polinomio dejaría de ser de tercer grado.

Verificación

Con $x = 0$ : $2 \cdot (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) \cdot (-4) = -12$ . Con $x = 2$ : $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-2) = -2$ . Ambos datos se cumplen. Es importante comprobar siempre, porque un sistema mal planteado puede dar resultados que no cumplen los datos.

Qué se aprende

La raíz incógnita agrega una dificultad, pero el método no cambia: factorizar, reemplazar los datos y resolver. Y la observación del producto $a\alpha$ es una herramienta que ahorra mucho trabajo en estos sistemas.

Resumen del procedimiento

Los pasos son cuatro. Primero, escribir la factorización con la raíz desconocida $\alpha$ y el coeficiente $a$ . Segundo, reemplazar cada dato para obtener una ecuación. Tercero, resolver el sistema aprovechando el producto $a\alpha$ . Y cuarto, armar el polinomio y verificar que cumple todos los datos. Siempre conviene reemplazar los datos en el resultado final, porque es la forma de detectar un error de signos en el sistema.