Calcular la función polinómica según la gráfica 📐 📏

Qué aprenderás en esta clase

Práctica guiada: cuatro polinomios de tercer grado para construir a partir de sus raíces y un dato, con las respuestas para comprobar.

Práctica con respuestas

Para consolidar el método, esta clase propone cuatro ejercicios de construcción de polinomios de tercer grado a partir de datos de una gráfica. En cada uno, aplicá la receta: factorizar, hallar $a$ con el dato adicional, desarrollar y verificar. Al final de cada ejercicio, está la respuesta para que compares.

Ejercicio A

Raíces $-1$ , 2 y 3, y corte con el eje vertical $f(0) = 12$ . El polinomio factorizado es $f(x) = a(x+1)(x-2)(x-3)$ . Con $f(0) = a \cdot 1 \cdot (-2) \cdot (-3) = 6a = 12$ , resulta $a = 2$ . Desarrollado: $(x+1)(x^2 - 5x + 6) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ , y multiplicado por 2, $f(x) = 2x^3 - 8x^2 + 2x + 12$ .

Ejercicio B

Raíces 0, 2 y 5, y $f(1) = -8$ . Con $f(x) = a\,x(x-2)(x-5)$ : $f(1) = a \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-4) = 4a = -8$ , así que $a = -2$ . Desarrollado: $x(x^2 - 7x + 10) = x^3 - 7x^2 + 10x$ , y multiplicado por $-2$ , $f(x) = -2x^3 + 14x^2 - 20x$ . Como no tiene término independiente, 0 es raíz, y se verifica.

Ejercicio C

Raíces $-3$ , $-1$ y 2, y $f(0) = 12$ . Con $f(x) = a(x+3)(x+1)(x-2)$ : $f(0) = a \cdot 3 \cdot 1 \cdot (-2) = -6a = 12$ , de donde $a = -2$ . Desarrollado: $(x+3)(x+1) = x^2 + 4x + 3$ , luego $(x^2 + 4x + 3)(x - 2) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ , y por $-2$ : $f(x) = -2x^3 - 4x^2 + 10x + 12$ .

Ejercicio D

Una raíz doble en 1 y una raíz simple en $-2$ , con $f(0) = 4$ . Como la raíz 1 es doble, el factor aparece al cuadrado: $f(x) = a(x-1)^2(x+2)$ . Con $f(0) = a \cdot 1 \cdot 2 = 2a = 4$ , $a = 2$ . Desarrollado: $(x-1)^2(x+2) = (x^2 - 2x + 1)(x+2) = x^3 - 3x + 2$ , y por 2: $f(x) = 2x^3 - 6x + 4$ . En el gráfico, la curva toca el eje en $x = 1$ sin atravesarlo.

Cómo comprobar tus respuestas

Para cada ejercicio, controlá que el término independiente coincida con el corte con el eje vertical y que el coeficiente principal sea $a$ . Y en cada polinomio, reemplazá una raíz y verificá que el resultado dé cero. Con estos hábitos, un error de cuentas se detecta enseguida.

Cómo seguir practicando

Cuando termines estos cuatro ejercicios, inventá los tuyos: elegí tres raíces, un valor de $a$ , armá el polinomio y desarrollalo. Después ocultá la fórmula, quedate solo con las raíces y un dato, y volvé a hallar el polinomio. Si llegás al mismo resultado, dominás el método. Este tipo de ida y vuelta es la forma más rápida de consolidar el tema, porque cada ejercicio sirve de comprobación del anterior.

Errores frecuentes en estos ejercicios

Los tres errores más comunes son los signos de los factores, el orden de las operaciones y la raíz doble. Una raíz $-3$ da el factor $(x + 3)$ , y no $(x - 3)$ . El coeficiente $a$ multiplica al producto completo, y se aplica al final. Y una raíz doble aparece con el factor al cuadrado, algo que se nota en el gráfico porque la curva toca al eje sin atravesarlo. Un cuarto error, menos frecuente, es usar una raíz como dato adicional, que no aporta información sobre $a$ .