Ejercicio 9

El ejercicio de esta clase

La función de producción es $Q(L, K) = L^{1/2} K^{1/2}$, y se pide calcular $\frac{dK}{dL}$ en el punto $(25, 4)$ de la isocuanta $Q(L, K) = 10$, usando el teorema de la función implícita.

Qué se practica

Una isocuanta es el conjunto de combinaciones de insumos que producen la misma cantidad. La ecuación $Q(L, K) = 10$ define implícitamente a $K$ como función de $L$, y su derivada es el opuesto del cociente de las productividades marginales. Esa derivada, cambiada de signo, es la tasa marginal de sustitución técnica. Se verifica que el punto pertenezca a la isocuanta y se evalúan las derivadas parciales ahí. Es el ejemplo más típico de uso de la función implícita en economía.

El tema del módulo: Introducción

Economía Matemática 1 es el curso en el que las herramientas del cálculo en varias variables y del álgebra lineal se ponen al servicio de la teoría económica. Se parte de las matrices y sus operaciones, y se avanza hacia funciones de varias variables, homogeneidad y teorema de Euler, concavidad y convexidad mediante la matriz hessiana, el teorema de la función implícita y la optimización, primero libre y luego con restricciones, con multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker. Los ejercicios son del nivel de los parciales y los exámenes, y suelen traer una interpretación económica que hay que justificar: qué significa un multiplicador, cuándo una condición de segundo orden garantiza un máximo, cómo cambia un equilibrio cuando cambia un parámetro.

Ideas que se usan en este tema

Una función es homogénea de grado $k$ si al multiplicar todas sus variables por $t$, el valor de la función queda multiplicado por $t^k$; en economía, el grado 1 corresponde a los rendimientos constantes a escala.

El teorema de Euler dice que, para una función homogénea de grado $k$, la suma de cada variable por la derivada parcial respecto de ella es igual a $k$ veces la función.

La matriz hessiana reúne las derivadas parciales segundas; su definición, semidefinición o indefinición decide si la función es convexa, cóncava o ninguna de las dos, y si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto silla.

Errores frecuentes

Interpretar el multiplicador de Lagrange sin sus unidades, o con el signo contrario al que corresponde a la restricción planteada.

Aplicar el teorema de la función implícita sin comprobar que la derivada respecto de la variable que se despeja no se anula en el punto.