Ejercicio 8

El ejercicio de esta clase

Se pide encontrar y clasificar el punto que optimiza una función tipo Cobb-Douglas, con exponentes fraccionarios, sujeta a una restricción lineal, $6x + 8y = P$, con $P > 0$. Además hay que verificar que, si $f^*(P)$ es el valor óptimo, su derivada respecto de $P$ es el multiplicador de Lagrange.

Qué se practica

Se plantea el lagrangiano, se derivan las condiciones de primer orden y se resuelve el sistema, que da $x$ e $y$ en función de $P$. Se clasifica el punto con las condiciones de segundo orden o con la concavidad de la función. Después se calcula $f^*(P)$, se deriva respecto de $P$ y se compara con el valor de $\lambda$. Es la verificación del teorema de la envolvente: el multiplicador mide cuánto aumenta el óptimo si la restricción se relaja una unidad.

El tema del módulo: Introducción

Un problema típico de economía matemática tiene tres tiempos. Primero se modela: se escribe la función de producción, de utilidad o de costos, y se plantea qué se quiere maximizar o minimizar y con qué restricciones. Después se resuelve con las herramientas del cálculo: derivadas parciales, matriz hessiana, lagrangiano, teorema de la función implícita. Y por último se interpreta, que es lo que más pesa en un examen: qué significa económicamente la condición de primer orden, el signo de una derivada de estática comparativa o el valor del multiplicador. Dominar cada uno de esos pasos, y no solo el cálculo, es el objetivo de las clases de este curso.

Ideas que se usan en este tema

Las operaciones con matrices tienen reglas propias: la suma es término a término, el producto no es conmutativo en general, y una matriz tiene inversa solo si su determinante no es cero.

El diferencial total de una función de varias variables suma el efecto de cada variable, y cuando las variables dependen de otras se obtiene con la regla de la cadena.

Una función es homogénea de grado $k$ si al multiplicar todas sus variables por $t$, el valor de la función queda multiplicado por $t^k$; en economía, el grado 1 corresponde a los rendimientos constantes a escala.

Errores frecuentes

Usar las condiciones de primer orden como si garantizaran un máximo, sin verificar las de segundo orden o la concavidad de la función.

Interpretar el multiplicador de Lagrange sin sus unidades, o con el signo contrario al que corresponde a la restricción planteada.