Qué aprenderás en esta clase
Concavidad y convexidad de dos funciones con la matriz hessiana: ax² + by² con a, b negativos y el logaritmo de xy.
El ejercicio de esta clase
Se pide usar la matriz hessiana para decidir si dos funciones son cóncavas, convexas, estrictamente cóncavas, estrictamente convexas o ninguna de esas. La primera es , con y negativos, y la segunda, .
Qué se practica
Se calculan las derivadas parciales segundas y se arma la hessiana. Para la forma cuadrática, la matriz es constante y diagonal, y su signo depende de los parámetros. Para el logaritmo, la hessiana depende del punto, así que hay que analizar su signo en todo el dominio, que es la región donde . Se aplican los criterios de los menores principales: una hessiana definida negativa implica concavidad estricta, y una semidefinida negativa implica concavidad. Es una clase clave para las condiciones de segundo orden.
El tema del módulo: Introducción
Un problema típico de economía matemática tiene tres tiempos. Primero se modela: se escribe la función de producción, de utilidad o de costos, y se plantea qué se quiere maximizar o minimizar y con qué restricciones. Después se resuelve con las herramientas del cálculo: derivadas parciales, matriz hessiana, lagrangiano, teorema de la función implícita. Y por último se interpreta, que es lo que más pesa en un examen: qué significa económicamente la condición de primer orden, el signo de una derivada de estática comparativa o el valor del multiplicador. Dominar cada uno de esos pasos, y no solo el cálculo, es el objetivo de las clases de este curso.
Ideas que se usan en este tema
La matriz hessiana reúne las derivadas parciales segundas; su definición, semidefinición o indefinición decide si la función es convexa, cóncava o ninguna de las dos, y si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto silla.
En optimización con restricciones de igualdad se arma el lagrangiano, se anulan sus derivadas respecto de las variables y del multiplicador, y se interpreta el multiplicador como el cambio del valor óptimo ante un cambio en la restricción.
El teorema de la función implícita da condiciones para despejar localmente una variable de una ecuación y permite calcular sus derivadas sin despejar, lo que es la base de la estática comparativa.
Errores frecuentes
Aplicar el teorema de la función implícita sin comprobar que la derivada respecto de la variable que se despeja no se anula en el punto.
Olvidar las condiciones de no negatividad o la holgura complementaria al resolver un problema con desigualdades.