Qué aprenderás en esta clase
Puntos críticos y su clasificación para la función f(x, y) = xy − x³ − y² mediante la matriz hessiana.
El ejercicio de esta clase
Se da la función . Se piden los puntos críticos en el plano y su clasificación, justificando si cada uno es un máximo o un mínimo local.
Qué se practica
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las dos derivadas parciales primeras y resolviendo el sistema, que en este caso mezcla una ecuación cuadrática con una lineal. Para clasificarlos se calcula la matriz hessiana en cada punto y se mira el signo del determinante y de la derivada segunda. Si el determinante es positivo y es negativa, es un máximo local. Si el determinante es negativo, es un punto silla. Es el procedimiento estándar de optimización libre.
El tema del módulo: Introducción
Economía Matemática 1 es el curso en el que las herramientas del cálculo en varias variables y del álgebra lineal se ponen al servicio de la teoría económica. Se parte de las matrices y sus operaciones, y se avanza hacia funciones de varias variables, homogeneidad y teorema de Euler, concavidad y convexidad mediante la matriz hessiana, el teorema de la función implícita y la optimización, primero libre y luego con restricciones, con multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker. Los ejercicios son del nivel de los parciales y los exámenes, y suelen traer una interpretación económica que hay que justificar: qué significa un multiplicador, cuándo una condición de segundo orden garantiza un máximo, cómo cambia un equilibrio cuando cambia un parámetro.
Ideas que se usan en este tema
El teorema de la función implícita da condiciones para despejar localmente una variable de una ecuación y permite calcular sus derivadas sin despejar, lo que es la base de la estática comparativa.
Con restricciones de desigualdad se usan las condiciones de Kuhn-Tucker, que incluyen la holgura complementaria: cada restricción es activa o su multiplicador es nulo.
Las operaciones con matrices tienen reglas propias: la suma es término a término, el producto no es conmutativo en general, y una matriz tiene inversa solo si su determinante no es cero.
Errores frecuentes
Suponer que el producto de matrices es conmutativo, o que una identidad entre matrices se puede simplificar como entre números.
Usar las condiciones de primer orden como si garantizaran un máximo, sin verificar las de segundo orden o la concavidad de la función.