Ejercicio 6

El ejercicio de esta clase

Se tiene una función de producción $F(L, K)$, con trabajo $L$ y capital $K$, homogénea de grado 1. Se conocen su valor y sus dos productividades marginales en un punto. Se define la productividad media del trabajo como la producción por unidad de trabajo, y se pide determinar si esa productividad media es homogénea y de qué grado, y calcular otras magnitudes con los datos.

Qué se practica

Se usa la definición de homogeneidad para analizar la productividad media: al multiplicar $L$ y $K$ por una constante, la media se comporta de una manera que se deduce de que $F$ es de grado 1. Y se usa el teorema de Euler, que relaciona la producción con las productividades marginales ponderadas por los insumos. Con los datos del punto se pueden calcular valores que no se dan directamente. Es una clase central para entender los rendimientos constantes a escala.

El tema del módulo: Introducción

Un problema típico de economía matemática tiene tres tiempos. Primero se modela: se escribe la función de producción, de utilidad o de costos, y se plantea qué se quiere maximizar o minimizar y con qué restricciones. Después se resuelve con las herramientas del cálculo: derivadas parciales, matriz hessiana, lagrangiano, teorema de la función implícita. Y por último se interpreta, que es lo que más pesa en un examen: qué significa económicamente la condición de primer orden, el signo de una derivada de estática comparativa o el valor del multiplicador. Dominar cada uno de esos pasos, y no solo el cálculo, es el objetivo de las clases de este curso.

Ideas que se usan en este tema

La matriz hessiana reúne las derivadas parciales segundas; su definición, semidefinición o indefinición decide si la función es convexa, cóncava o ninguna de las dos, y si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto silla.

En optimización con restricciones de igualdad se arma el lagrangiano, se anulan sus derivadas respecto de las variables y del multiplicador, y se interpreta el multiplicador como el cambio del valor óptimo ante un cambio en la restricción.

El teorema de la función implícita da condiciones para despejar localmente una variable de una ecuación y permite calcular sus derivadas sin despejar, lo que es la base de la estática comparativa.

Errores frecuentes

Concluir que una función es cóncava mirando solo algunos signos de la hessiana, sin analizar la definición completa de la matriz.

Suponer que el producto de matrices es conmutativo, o que una identidad entre matrices se puede simplificar como entre números.