Ejercicio 5

El ejercicio de esta clase

Se da una ecuación que mezcla potencias y productos de $x$, $y$ y $z$, igualada a $-1$, y se pregunta si define a $x$ como función de $y$ y de $z$ en la vecindad de un punto dado. En caso afirmativo se piden las derivadas parciales de $x$ respecto de $y$ y de $z$.

Qué se practica

Es una aplicación del teorema de la función implícita. Se comprueba que el punto cumple la ecuación y que la derivada parcial de la ecuación respecto de $x$ no se anula allí, que es la condición que permite despejar localmente. Después se calculan las derivadas buscadas como el opuesto del cociente de dos derivadas parciales de la ecuación, sin necesidad de despejar $x$. Es la herramienta con la que se hace estática comparativa en los problemas económicos.

El tema del módulo: Introducción

Economía Matemática 1 es el curso en el que las herramientas del cálculo en varias variables y del álgebra lineal se ponen al servicio de la teoría económica. Se parte de las matrices y sus operaciones, y se avanza hacia funciones de varias variables, homogeneidad y teorema de Euler, concavidad y convexidad mediante la matriz hessiana, el teorema de la función implícita y la optimización, primero libre y luego con restricciones, con multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker. Los ejercicios son del nivel de los parciales y los exámenes, y suelen traer una interpretación económica que hay que justificar: qué significa un multiplicador, cuándo una condición de segundo orden garantiza un máximo, cómo cambia un equilibrio cuando cambia un parámetro.

Ideas que se usan en este tema

Una función es homogénea de grado $k$ si al multiplicar todas sus variables por $t$, el valor de la función queda multiplicado por $t^k$; en economía, el grado 1 corresponde a los rendimientos constantes a escala.

El teorema de Euler dice que, para una función homogénea de grado $k$, la suma de cada variable por la derivada parcial respecto de ella es igual a $k$ veces la función.

La matriz hessiana reúne las derivadas parciales segundas; su definición, semidefinición o indefinición decide si la función es convexa, cóncava o ninguna de las dos, y si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto silla.

Errores frecuentes

Olvidar las condiciones de no negatividad o la holgura complementaria al resolver un problema con desigualdades.

Concluir que una función es cóncava mirando solo algunos signos de la hessiana, sin analizar la definición completa de la matriz.