Qué aprenderás en esta clase
Operación combinada con matrices: sumar dos matrices y multiplicar el resultado por una tercera, usando la definición de producto.
El ejercicio de esta clase
Se pide una operación combinada: sumar dos matrices y multiplicar el resultado por una tercera matriz. El enunciado incluye suma, resta y multiplicación, de modo que hay que cuidar el orden de las operaciones.
Qué se practica
Primero se calcula la matriz suma, elemento a elemento. Después se hace el producto, y aquí aparece la regla fundamental: el elemento de la posición del producto es la suma de los productos de los elementos de la fila de la primera matriz por los de la columna de la segunda. Se verifica antes de multiplicar que las dimensiones sean compatibles. Es un ejercicio para ganar práctica con el producto de matrices, que es la operación que más errores genera.
El tema del módulo: Introducción
Un problema típico de economía matemática tiene tres tiempos. Primero se modela: se escribe la función de producción, de utilidad o de costos, y se plantea qué se quiere maximizar o minimizar y con qué restricciones. Después se resuelve con las herramientas del cálculo: derivadas parciales, matriz hessiana, lagrangiano, teorema de la función implícita. Y por último se interpreta, que es lo que más pesa en un examen: qué significa económicamente la condición de primer orden, el signo de una derivada de estática comparativa o el valor del multiplicador. Dominar cada uno de esos pasos, y no solo el cálculo, es el objetivo de las clases de este curso.
Ideas que se usan en este tema
La matriz hessiana reúne las derivadas parciales segundas; su definición, semidefinición o indefinición decide si la función es convexa, cóncava o ninguna de las dos, y si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto silla.
En optimización con restricciones de igualdad se arma el lagrangiano, se anulan sus derivadas respecto de las variables y del multiplicador, y se interpreta el multiplicador como el cambio del valor óptimo ante un cambio en la restricción.
El teorema de la función implícita da condiciones para despejar localmente una variable de una ecuación y permite calcular sus derivadas sin despejar, lo que es la base de la estática comparativa.
Errores frecuentes
Usar las condiciones de primer orden como si garantizaran un máximo, sin verificar las de segundo orden o la concavidad de la función.
Interpretar el multiplicador de Lagrange sin sus unidades, o con el signo contrario al que corresponde a la restricción planteada.