Ejercicio 19

El ejercicio de esta clase

Se piden tres cosas. Determinar si son homogéneas, y de qué grado, la suma de cuadrados $x^2 + y^2$ y el cociente $\frac{\ln(x^2 + y^2)}{xy}$. Y, para una función de utilidad $u(x, y)$ homogénea de grado 1, analizar si la función $\ln\left(\frac{u(x, y)}{x}\right)$ es homogénea y, en tal caso, de qué grado.

Qué se practica

Se escala cada variable por $t$ y se compara el resultado con la función original. La suma de cuadrados es homogénea de grado 2. En el cociente con logaritmo, el logaritmo rompe la homogeneidad, y conviene ver cómo. En la tercera, el cociente de dos funciones homogéneas de grado 1 es homogéneo de grado 0, y el logaritmo lo transforma en una función que no cumple la definición. Es un ejercicio de precisión con las definiciones.

El tema del módulo: Introducción

Economía Matemática 1 es el curso en el que las herramientas del cálculo en varias variables y del álgebra lineal se ponen al servicio de la teoría económica. Se parte de las matrices y sus operaciones, y se avanza hacia funciones de varias variables, homogeneidad y teorema de Euler, concavidad y convexidad mediante la matriz hessiana, el teorema de la función implícita y la optimización, primero libre y luego con restricciones, con multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker. Los ejercicios son del nivel de los parciales y los exámenes, y suelen traer una interpretación económica que hay que justificar: qué significa un multiplicador, cuándo una condición de segundo orden garantiza un máximo, cómo cambia un equilibrio cuando cambia un parámetro.

Ideas que se usan en este tema

El teorema de la función implícita da condiciones para despejar localmente una variable de una ecuación y permite calcular sus derivadas sin despejar, lo que es la base de la estática comparativa.

Con restricciones de desigualdad se usan las condiciones de Kuhn-Tucker, que incluyen la holgura complementaria: cada restricción es activa o su multiplicador es nulo.

Las operaciones con matrices tienen reglas propias: la suma es término a término, el producto no es conmutativo en general, y una matriz tiene inversa solo si su determinante no es cero.

Errores frecuentes

Suponer que el producto de matrices es conmutativo, o que una identidad entre matrices se puede simplificar como entre números.

Usar las condiciones de primer orden como si garantizaran un máximo, sin verificar las de segundo orden o la concavidad de la función.