Qué aprenderás en esta clase
Estática comparativa de un mercado: exceso de demanda, equilibrio y efecto del ingreso en el precio con el teorema de la función implícita.
El ejercicio de esta clase
Se modela un mercado con una función de demanda que depende del precio y del ingreso, y una función de oferta que depende del precio. Se pide escribir el exceso de demanda, la condición de equilibrio, demostrar que se puede usar el teorema de la función implícita para escribir el precio de equilibrio como función del ingreso y obtener la derivada del precio respecto del ingreso, indicando bajo qué condiciones es positiva o negativa.
Qué se practica
El exceso de demanda es demanda menos oferta, y el equilibrio es que valga cero. La función implícita da el efecto de un cambio de ingreso sobre el precio sin despejarlo: la derivada es el cociente de la sensibilidad de la demanda al ingreso y de la pendiente del exceso de demanda respecto del precio. El análisis de signos distingue bienes normales de inferiores y exige interpretar económicamente cada caso. Es el ejemplo clásico de estática comparativa.
El tema del módulo: Introducción
Un problema típico de economía matemática tiene tres tiempos. Primero se modela: se escribe la función de producción, de utilidad o de costos, y se plantea qué se quiere maximizar o minimizar y con qué restricciones. Después se resuelve con las herramientas del cálculo: derivadas parciales, matriz hessiana, lagrangiano, teorema de la función implícita. Y por último se interpreta, que es lo que más pesa en un examen: qué significa económicamente la condición de primer orden, el signo de una derivada de estática comparativa o el valor del multiplicador. Dominar cada uno de esos pasos, y no solo el cálculo, es el objetivo de las clases de este curso.
Ideas que se usan en este tema
La matriz hessiana reúne las derivadas parciales segundas; su definición, semidefinición o indefinición decide si la función es convexa, cóncava o ninguna de las dos, y si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto silla.
En optimización con restricciones de igualdad se arma el lagrangiano, se anulan sus derivadas respecto de las variables y del multiplicador, y se interpreta el multiplicador como el cambio del valor óptimo ante un cambio en la restricción.
El teorema de la función implícita da condiciones para despejar localmente una variable de una ecuación y permite calcular sus derivadas sin despejar, lo que es la base de la estática comparativa.
Errores frecuentes
Concluir que una función es cóncava mirando solo algunos signos de la hessiana, sin analizar la definición completa de la matriz.
Suponer que el producto de matrices es conmutativo, o que una identidad entre matrices se puede simplificar como entre números.