Ejercicio 17

El ejercicio de esta clase

Se minimiza la suma de dos cuadrados, $(x - 4)^2 + (y - 4)^2$, sujeta a $x + y \le 5$ con $x$ e $y$ no negativas. El enunciado pide el lagrangiano con la formulación de Kuhn-Tucker, las condiciones asociadas, un dibujo de la región factible con algunas curvas de nivel, y, como bonus, la solución óptima.

Qué se practica

La función objetivo mide el cuadrado de la distancia al punto $(4, 4)$, que queda fuera de la región factible, por lo que la solución estará en el borde. Las condiciones de Kuhn-Tucker incluyen la no negatividad del multiplicador y la holgura complementaria. El dibujo ayuda a ver que la solución es el punto de la recta de restricción más cercano al punto $(4, 4)$. Se usan las curvas de nivel, que son circunferencias, para justificar geométricamente el resultado.

El tema del módulo: Introducción

Economía Matemática 1 es el curso en el que las herramientas del cálculo en varias variables y del álgebra lineal se ponen al servicio de la teoría económica. Se parte de las matrices y sus operaciones, y se avanza hacia funciones de varias variables, homogeneidad y teorema de Euler, concavidad y convexidad mediante la matriz hessiana, el teorema de la función implícita y la optimización, primero libre y luego con restricciones, con multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker. Los ejercicios son del nivel de los parciales y los exámenes, y suelen traer una interpretación económica que hay que justificar: qué significa un multiplicador, cuándo una condición de segundo orden garantiza un máximo, cómo cambia un equilibrio cuando cambia un parámetro.

Ideas que se usan en este tema

Una función es homogénea de grado $k$ si al multiplicar todas sus variables por $t$, el valor de la función queda multiplicado por $t^k$; en economía, el grado 1 corresponde a los rendimientos constantes a escala.

El teorema de Euler dice que, para una función homogénea de grado $k$, la suma de cada variable por la derivada parcial respecto de ella es igual a $k$ veces la función.

La matriz hessiana reúne las derivadas parciales segundas; su definición, semidefinición o indefinición decide si la función es convexa, cóncava o ninguna de las dos, y si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto silla.

Errores frecuentes

Olvidar las condiciones de no negatividad o la holgura complementaria al resolver un problema con desigualdades.

Concluir que una función es cóncava mirando solo algunos signos de la hessiana, sin analizar la definición completa de la matriz.