Ejercicio 16

El ejercicio de esta clase

Se pide clasificar el valor extremo de la función lineal $f(x, y) = -2x + 2y$ sujeta a la restricción $y - \ln x = 1$, y aproximar el cambio del valor óptimo si el lado derecho de la restricción pasara de 1 a 1,15, explicando.

Qué se practica

Se plantea el lagrangiano y se resuelven las condiciones de primer orden. Como la función objetivo es lineal y la restricción curva, la clasificación depende de la forma de la restricción, y se hace con la hessiana orlada o con la concavidad de la función en la restricción. Para el cambio del óptimo se usa la interpretación del multiplicador: el valor óptimo cambia aproximadamente en $\lambda$ por la variación de la restricción. Es la aplicación más directa del teorema de la envolvente.

El tema del módulo: Introducción

Un problema típico de economía matemática tiene tres tiempos. Primero se modela: se escribe la función de producción, de utilidad o de costos, y se plantea qué se quiere maximizar o minimizar y con qué restricciones. Después se resuelve con las herramientas del cálculo: derivadas parciales, matriz hessiana, lagrangiano, teorema de la función implícita. Y por último se interpreta, que es lo que más pesa en un examen: qué significa económicamente la condición de primer orden, el signo de una derivada de estática comparativa o el valor del multiplicador. Dominar cada uno de esos pasos, y no solo el cálculo, es el objetivo de las clases de este curso.

Ideas que se usan en este tema

Las operaciones con matrices tienen reglas propias: la suma es término a término, el producto no es conmutativo en general, y una matriz tiene inversa solo si su determinante no es cero.

El diferencial total de una función de varias variables suma el efecto de cada variable, y cuando las variables dependen de otras se obtiene con la regla de la cadena.

Una función es homogénea de grado $k$ si al multiplicar todas sus variables por $t$, el valor de la función queda multiplicado por $t^k$; en economía, el grado 1 corresponde a los rendimientos constantes a escala.

Errores frecuentes

Aplicar el teorema de la función implícita sin comprobar que la derivada respecto de la variable que se despeja no se anula en el punto.

Olvidar las condiciones de no negatividad o la holgura complementaria al resolver un problema con desigualdades.