Ejercicio 15

El ejercicio de esta clase

Se considera un sistema de dos ecuaciones: la suma $x + y = uv$ y el producto $xy = u - v$. La primera parte pide determinar bajo qué condiciones el sistema define implícitamente a $x$ y a $v$ como funciones diferenciables de $u$ y de $y$. La segunda, usar el teorema general de la función implícita para obtener las derivadas parciales.

Qué se practica

Es la versión con varias ecuaciones del teorema de la función implícita. La condición clave es que el determinante jacobiano de las ecuaciones respecto de las variables que se quieren despejar sea distinto de cero. Se calcula esa matriz, se decide para qué puntos es invertible, y las derivadas buscadas salen de resolver un sistema lineal con esa matriz y las derivadas respecto de los otros parámetros. Es un ejercicio exigente, de álgebra ordenada.

El tema del módulo: Introducción

Economía Matemática 1 es el curso en el que las herramientas del cálculo en varias variables y del álgebra lineal se ponen al servicio de la teoría económica. Se parte de las matrices y sus operaciones, y se avanza hacia funciones de varias variables, homogeneidad y teorema de Euler, concavidad y convexidad mediante la matriz hessiana, el teorema de la función implícita y la optimización, primero libre y luego con restricciones, con multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker. Los ejercicios son del nivel de los parciales y los exámenes, y suelen traer una interpretación económica que hay que justificar: qué significa un multiplicador, cuándo una condición de segundo orden garantiza un máximo, cómo cambia un equilibrio cuando cambia un parámetro.

Ideas que se usan en este tema

El teorema de la función implícita da condiciones para despejar localmente una variable de una ecuación y permite calcular sus derivadas sin despejar, lo que es la base de la estática comparativa.

Con restricciones de desigualdad se usan las condiciones de Kuhn-Tucker, que incluyen la holgura complementaria: cada restricción es activa o su multiplicador es nulo.

Las operaciones con matrices tienen reglas propias: la suma es término a término, el producto no es conmutativo en general, y una matriz tiene inversa solo si su determinante no es cero.

Errores frecuentes

Interpretar el multiplicador de Lagrange sin sus unidades, o con el signo contrario al que corresponde a la restricción planteada.

Aplicar el teorema de la función implícita sin comprobar que la derivada respecto de la variable que se despeja no se anula en el punto.