Ejercicio 14

El ejercicio de esta clase

Se tiene una función $U = f(x_1, x_2, t)$, donde $x_1$ depende de $t$ y $x_2$ depende de $t$ y de $w$. Se piden la expresión del diferencial total de $U$ y del cambio de $U$ ante cambios en $t$, y su aplicación a una función concreta que combina una exponencial en $t$ con el logaritmo del producto de las dos variables.

Qué se practica

Se aplica la regla de la cadena con varias variables intermedias. El cambio total de $U$ respecto de $t$ suma el efecto directo de $t$ y los efectos indirectos a través de $x_1$ y $x_2$. Con la función concreta, el logaritmo del producto se simplifica como suma de logaritmos, lo que facilita las derivadas. Es un ejercicio de organización: identificar qué depende de qué antes de derivar.

El tema del módulo: Introducción

Un problema típico de economía matemática tiene tres tiempos. Primero se modela: se escribe la función de producción, de utilidad o de costos, y se plantea qué se quiere maximizar o minimizar y con qué restricciones. Después se resuelve con las herramientas del cálculo: derivadas parciales, matriz hessiana, lagrangiano, teorema de la función implícita. Y por último se interpreta, que es lo que más pesa en un examen: qué significa económicamente la condición de primer orden, el signo de una derivada de estática comparativa o el valor del multiplicador. Dominar cada uno de esos pasos, y no solo el cálculo, es el objetivo de las clases de este curso.

Ideas que se usan en este tema

La matriz hessiana reúne las derivadas parciales segundas; su definición, semidefinición o indefinición decide si la función es convexa, cóncava o ninguna de las dos, y si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto silla.

En optimización con restricciones de igualdad se arma el lagrangiano, se anulan sus derivadas respecto de las variables y del multiplicador, y se interpreta el multiplicador como el cambio del valor óptimo ante un cambio en la restricción.

El teorema de la función implícita da condiciones para despejar localmente una variable de una ecuación y permite calcular sus derivadas sin despejar, lo que es la base de la estática comparativa.

Errores frecuentes

Usar las condiciones de primer orden como si garantizaran un máximo, sin verificar las de segundo orden o la concavidad de la función.

Interpretar el multiplicador de Lagrange sin sus unidades, o con el signo contrario al que corresponde a la restricción planteada.