Ejercicio 13

El ejercicio de esta clase

Se pide usar la matriz hessiana para decidir si dos funciones de dos variables son cóncavas, convexas, estrictamente cóncavas, estrictamente convexas o ninguna: el cuadrado de la suma, $(x + y)^2$, y la función $x + y - e^x - e^{x+y}$.

Qué se practica

La primera función tiene una hessiana constante y singular, es decir, con determinante nulo, lo que lleva a la distinción entre convexidad y convexidad estricta. La segunda combina términos lineales con exponenciales, y su hessiana depende del punto y exige analizar el signo de los menores principales en todo el dominio. Es un buen ejercicio para precisar las definiciones: la semidefinición permite concavidad o convexidad no estrictas, y la definición, las estrictas.

El tema del módulo: Introducción

Economía Matemática 1 es el curso en el que las herramientas del cálculo en varias variables y del álgebra lineal se ponen al servicio de la teoría económica. Se parte de las matrices y sus operaciones, y se avanza hacia funciones de varias variables, homogeneidad y teorema de Euler, concavidad y convexidad mediante la matriz hessiana, el teorema de la función implícita y la optimización, primero libre y luego con restricciones, con multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker. Los ejercicios son del nivel de los parciales y los exámenes, y suelen traer una interpretación económica que hay que justificar: qué significa un multiplicador, cuándo una condición de segundo orden garantiza un máximo, cómo cambia un equilibrio cuando cambia un parámetro.

Ideas que se usan en este tema

Una función es homogénea de grado $k$ si al multiplicar todas sus variables por $t$, el valor de la función queda multiplicado por $t^k$; en economía, el grado 1 corresponde a los rendimientos constantes a escala.

El teorema de Euler dice que, para una función homogénea de grado $k$, la suma de cada variable por la derivada parcial respecto de ella es igual a $k$ veces la función.

La matriz hessiana reúne las derivadas parciales segundas; su definición, semidefinición o indefinición decide si la función es convexa, cóncava o ninguna de las dos, y si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto silla.

Errores frecuentes

Suponer que el producto de matrices es conmutativo, o que una identidad entre matrices se puede simplificar como entre números.

Usar las condiciones de primer orden como si garantizaran un máximo, sin verificar las de segundo orden o la concavidad de la función.