Ejercicio 12

El ejercicio de esta clase

Se dan dos funciones: $f(x, y) = \ln(x^\alpha y^\beta)$ y $F = e^{Q}$, donde $Q(x, y) = A x^\alpha y^\beta$ con $\alpha + \beta \neq 0$. Para cada una se pide demostrar si es homogénea y de qué grado, y verificar que satisface el teorema de Euler.

Qué se practica

Se multiplica cada variable por una constante $t$ y se estudia cómo cambia la función. El logaritmo convierte el producto en una suma, así que la función no queda multiplicada por una potencia de $t$ y hay que concluir con cuidado si es o no homogénea. Con la exponencial ocurre algo parecido. Después se calcula la suma de cada variable por la derivada parcial respecto de ella y se compara con el grado por la función. Es un ejercicio para evitar la trampa de creer que toda función con exponentes es homogénea.

El tema del módulo: Introducción

Un problema típico de economía matemática tiene tres tiempos. Primero se modela: se escribe la función de producción, de utilidad o de costos, y se plantea qué se quiere maximizar o minimizar y con qué restricciones. Después se resuelve con las herramientas del cálculo: derivadas parciales, matriz hessiana, lagrangiano, teorema de la función implícita. Y por último se interpreta, que es lo que más pesa en un examen: qué significa económicamente la condición de primer orden, el signo de una derivada de estática comparativa o el valor del multiplicador. Dominar cada uno de esos pasos, y no solo el cálculo, es el objetivo de las clases de este curso.

Ideas que se usan en este tema

Las operaciones con matrices tienen reglas propias: la suma es término a término, el producto no es conmutativo en general, y una matriz tiene inversa solo si su determinante no es cero.

El diferencial total de una función de varias variables suma el efecto de cada variable, y cuando las variables dependen de otras se obtiene con la regla de la cadena.

Una función es homogénea de grado $k$ si al multiplicar todas sus variables por $t$, el valor de la función queda multiplicado por $t^k$; en economía, el grado 1 corresponde a los rendimientos constantes a escala.

Errores frecuentes

Concluir que una función es cóncava mirando solo algunos signos de la hessiana, sin analizar la definición completa de la matriz.

Suponer que el producto de matrices es conmutativo, o que una identidad entre matrices se puede simplificar como entre números.