Ejercicio 11

El ejercicio de esta clase

Una empresa produce con dos insumos, y está obligada a usar exactamente 1000 unidades del primero. El enunciado pide: determinar si la función de producción es cóncava o convexa en el segundo insumo y si tiene retornos marginales crecientes o decrecientes, plantear el problema de maximización de beneficios con la restricción, escribir el lagrangiano y obtener las condiciones de primer orden con los valores óptimos.

Qué se practica

Es un problema completo de optimización con restricciones. La concavidad en el segundo insumo se analiza con la derivada segunda respecto de él, y de su signo se deduce el tipo de retornos marginales. El problema de la empresa se escribe con ingresos menos costos y la restricción de igualdad, sin reemplazarla en la función, como indica la ayuda. Se arma el lagrangiano con $\lambda$ y se anulan sus derivadas respecto de las dos cantidades y del multiplicador. Se interpreta el resultado en términos económicos.

El tema del módulo: Introducción

Economía Matemática 1 es el curso en el que las herramientas del cálculo en varias variables y del álgebra lineal se ponen al servicio de la teoría económica. Se parte de las matrices y sus operaciones, y se avanza hacia funciones de varias variables, homogeneidad y teorema de Euler, concavidad y convexidad mediante la matriz hessiana, el teorema de la función implícita y la optimización, primero libre y luego con restricciones, con multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker. Los ejercicios son del nivel de los parciales y los exámenes, y suelen traer una interpretación económica que hay que justificar: qué significa un multiplicador, cuándo una condición de segundo orden garantiza un máximo, cómo cambia un equilibrio cuando cambia un parámetro.

Ideas que se usan en este tema

El teorema de la función implícita da condiciones para despejar localmente una variable de una ecuación y permite calcular sus derivadas sin despejar, lo que es la base de la estática comparativa.

Con restricciones de desigualdad se usan las condiciones de Kuhn-Tucker, que incluyen la holgura complementaria: cada restricción es activa o su multiplicador es nulo.

Las operaciones con matrices tienen reglas propias: la suma es término a término, el producto no es conmutativo en general, y una matriz tiene inversa solo si su determinante no es cero.

Errores frecuentes

Olvidar las condiciones de no negatividad o la holgura complementaria al resolver un problema con desigualdades.

Concluir que una función es cóncava mirando solo algunos signos de la hessiana, sin analizar la definición completa de la matriz.