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CÁLCULO INTEGRAL

Raíz Cúbica Dividiendo – Cálculo de Integrales

Integral de una raíz en el denominador: la integral de 1 sobre la raíz cúbica de x al cuadrado entre 1 y 2, que da 3 por la raíz cúbica de 2 menos 3.

Qué aprenderás en esta clase

Integral de una raíz en el denominador: la integral de 1 sobre la raíz cúbica de x al cuadrado entre 1 y 2, que da 3 por la raíz cúbica de 2 menos 3.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve la integral entre 1 y 2 de $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ . Es una integral de cálculo directo, es decir, que se resuelve con la tabla sin métodos especiales, pero exige preparar el integrando: hay una raíz y está en el denominador. La clase enseña el orden correcto de las transformaciones.

Paso 1: pasar la raíz a potencia

Una raíz es una potencia de exponente fraccionario. Se usa la propiedad $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$ . Entonces $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$ , y el integrando es $\frac{1}{x^{2/3}}$ .

Paso 2: llevar el monomio al numerador

Con la propiedad $\frac{1}{x^a} = x^{-a}$ , el integrando queda $x^{-2/3}$ . Ahora es un monomio común y se puede aplicar la primitiva de $x^n$ , con $n = -\frac{2}{3}$ .

Paso 3: la primitiva

Se suma 1 al exponente: $-\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$ . La primitiva es $\frac{x^{1/3}}{1/3}$ . Dividir por un tercio es lo mismo que multiplicar por 3, así que queda $3x^{1/3}$ , que se puede volver a escribir como $3\sqrt[3]{x}$ .

Paso 4: simplificar antes de evaluar

El video destaca una regla de oro: una vez que se llega a la primitiva, conviene acomodar la expresión antes de reemplazar. No es lo mismo evaluar $\frac{x^{1/3}}{1/3}$ que $3\sqrt[3]{x}$ : la segunda forma evita manejar fracciones de fracciones.

Paso 5: evaluar con Barrow

Se reemplaza en 2 y en 1: $3\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{1}$ . Como $\sqrt[3]{1} = 1$ , el resultado es $3\sqrt[3]{2} - 3$ , que se escribe sacando factor común como $3\left(\sqrt[3]{2} - 1\right)$ . La raíz cúbica de 2 no es un número racional, así que se deja expresada y no se reemplaza por un decimal. Con calculadora, el valor es aproximadamente 0,78.

Resumen de la técnica

Cuando hay un monomio con raíz en el denominador, la secuencia es: expresar la raíz como potencia, pasar la potencia al numerador cambiando el signo, aplicar la primitiva de $x^n$ , simplificar y recién entonces evaluar. Practicá con $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ , que da 2.

Un detalle sobre el resultado

El resultado $3\left(\sqrt[3]{2} - 1\right)$ es exacto, mientras que el decimal 0,78 es aproximado. En un examen conviene dar primero la expresión exacta y, si se pide, después el valor aproximado. Además, el valor es razonable: entre 1 y 2 la función $x^{-2/3}$ vale entre 1 y aproximadamente 0,63, así que el área, que es el valor promedio por el largo del intervalo, tiene que estar entre 0,63 y 1. El resultado 0,78 cumple esa condición, y es una verificación que no necesita derivar.