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CÁLCULO INTEGRAL

Cálculo de Integrales de X al cubo Dividiendo

Integrales con un término en el denominador: ejercicios 4 y 5, que dan 3/8 y 27/8, aplicando la propiedad x elevado a menos n.

Qué aprenderás en esta clase

Integrales con un término en el denominador: ejercicios 4 y 5, que dan 3/8 y 27/8, aplicando la propiedad x elevado a menos n.

Qué se resuelve en esta clase

Esta clase presenta un caso particular de las integrales de polinomios: cuando hay un monomio en el denominador. Se resuelven dos ejercicios del repartido, ambos entre 1 y 2. El ejercicio 4 es la integral de $\frac{1}{x^3}$ y el ejercicio 5 es la integral de $2x + \frac{1}{x^3}$ .

La propiedad de potencias que hace falta

La regla de la primitiva de $x^n$ se aplica a monomios en el numerador. Cuando el monomio está en el denominador hay que pasarlo arriba cambiando el signo del exponente: $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ . Una vez en el numerador, se trata como cualquier potencia, aunque su exponente sea negativo.

Ejercicio 4: la integral de 1 sobre x al cubo entre 1 y 2

Se reescribe como $\int_1^2 x^{-3} \, dx$ . Con $n = -3$ , $n + 1 = -2$ , y la primitiva es $\frac{x^{-2}}{-2}$ . Para evaluar sin calculadora conviene volver a poner la potencia en el denominador: $\frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$ . En 2 vale $-\frac{1}{8}$ y en 1 vale $-\frac{1}{2}$ . Restando, $-\frac{1}{8} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ .

Ejercicio 5: la integral de 2x más 1 sobre x al cubo entre 1 y 2

Hay dos términos, y lo más conveniente es separarlos: se calcula cada integral por su lado y se suman. La primera es $\int_1^2 2x \, dx = x^2$ evaluada entre 1 y 2, que da $4 - 1 = 3$ . La segunda es la del ejercicio anterior, $\frac{3}{8}$ . La suma es $3 + \frac{3}{8} = \frac{27}{8}$ .

Un cuidado con los signos

El signo menos de la primitiva se puede escribir adelante de la fracción. Si queda un menos arriba o abajo, lo más prolijo es llevarlo delante de la fracción completa, para no confundirse al restar. Y recordá que $x^{-2}$ no es negativo: un exponente negativo indica «dar vuelta» la potencia, no cambiar el signo del número.

Para practicar

Resolvé $\int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx$ , que da $\frac{1}{2}$ , y $\int_1^3 \left( x + \frac{1}{x^2} \right) dx$ , que da $\frac{14}{3}$ . Comprobá cada resultado derivando la primitiva.

Para repasar

Cuando un monomio está en el denominador, la secuencia es siempre la misma: pasarlo al numerador cambiando el signo del exponente, aplicar la primitiva de $x^n$ , volver a poner la potencia en el denominador y evaluar con Barrow. Si la integral tiene varios términos, conviene separarlos y calcular cada uno por su cuenta, salvo que dos términos juntos tengan una primitiva conocida de la tabla. Revisá siempre el signo del resultado: una función positiva en el intervalo tiene que dar una integral positiva.