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CÁLCULO INTEGRAL

Función Exponencial- Cálculo de Integrales

Integral exponencial por aplicación directa de la tabla: la integral de e elevado a 3x entre 0 y 1, que da (e³ − 1)/3.

Qué aprenderás en esta clase

Integral exponencial por aplicación directa de la tabla: la integral de e elevado a 3x entre 0 y 1, que da (e³ − 1)/3.

Qué se resuelve en esta clase

La clase trata las integrales exponenciales, que se resuelven por aplicación directa de la tabla de primitivas. Así como al derivar se usaba la tabla de derivadas, acá se usa la tabla de primitivas. «Directa» significa que no hace falta ningún método de integración, como cambio de variable o integración por partes, que se ven en clases posteriores.

La fórmula de la tabla

La tabla indica que $\int e^{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + c$ , para $a$ distinto de cero. La primitiva es la misma exponencial dividida por el coeficiente de $x$ en el exponente. Es una consecuencia de la regla de la cadena: al derivar $\frac{1}{a} e^{ax+b}$ , el factor $a$ que sale del exponente se cancela con el $\frac{1}{a}$ .

El ejercicio: la integral de e elevado a 3x entre 0 y 1

Acá $a = 3$ y $b = 0$ . La primitiva es $\frac{1}{3} e^{3x}$ . Se evalúa con Barrow entre 0 y 1: en 1 vale $\frac{1}{3} e^{3}$ , y en 0 vale $\frac{1}{3} e^{0}$ . Como $e^0 = 1$ , el segundo término es $\frac{1}{3}$ .

Cómo escribir el resultado

El resultado es $\frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{3}$ . Como los dos términos están divididos entre 3, se pueden juntar en una sola fracción: $\frac{e^3 - 1}{3}$ . Con calculadora, $e^3 \approx 20{,}09$ , así que la integral vale aproximadamente 6,36.

Sustitución e integración directa

El video aclara una cuestión de lenguaje: acá no se habla de «sustitución», porque la sustitución es un método de integración y no se quiere confundir. Lo que se hizo es aplicar la fórmula de la tabla tal como está. Más adelante, la misma integral se puede resolver con un cambio de variable $u = 3x$ , con el mismo resultado.

Errores frecuentes

Dos errores aparecen siempre. Uno es olvidarse de dividir por el coeficiente del exponente, y dejar $e^{3x}$ como primitiva. Otro es olvidarse de que $e^0 = 1$ , y por eso escribir 0 como valor en el extremo inferior. Para comprobar, derivá la primitiva: la derivada de $\frac{1}{3} e^{3x}$ es $e^{3x}$ . Practicá con $\int_0^1 e^{2x} \, dx$ , que da $\frac{e^2 - 1}{2}$ .

Para repasar

Memorizá la regla de la exponencial: la primitiva de $e^{ax}$ es $\frac{1}{a}e^{ax}$ . En el ejercicio de la clase se aplicó con $a = 3$ y los extremos 0 y 1, y el resultado fue $\frac{e^3 - 1}{3}$ . Para estar seguro de que la fórmula está bien aplicada, derivá la primitiva y verificá que se recupera el integrando.