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CÁLCULO INTEGRAL

Integración por Partes – Cálculo de Primitivas

Integración por partes: la fórmula y su aplicación a la integral de x por seno de x entre 0 y π/2, cuyo resultado es 1.

Qué aprenderás en esta clase

Integración por partes: la fórmula y su aplicación a la integral de x por seno de x entre 0 y π/2, cuyo resultado es 1.

Qué se resuelve en esta clase

La clase inicia el capítulo de integración por partes. Después de ver la demostración teórica de la fórmula, acá se la aplica a un ejercicio concreto: la integral entre 0 y π2\frac{\pi}{2} de xsin⁡x dxx \sin x \, dx. Es el método que se usa cuando el integrando es un producto de funciones y ninguna tabla lo resuelve directamente.

La fórmula

Si el integrando es el producto de f′(x)f'(x) y g(x)g(x), entonces ∫abf′(x) g(x) dx=[f(x) g(x)]ab−∫abf(x) g′(x) dx\int_a^b f'(x)\, g(x)\, dx = \Big[ f(x)\, g(x) \Big]_a^b - \int_a^b f(x)\, g'(x)\, dx Una de las funciones se llama f′f' y se integra para obtener ff; la otra se llama gg y se deriva para obtener g′g'. La nueva integral que aparece puede parecer otra complicación, pero la idea es que sea más sencilla que la original.

Cómo elegir cuál integrar y cuál derivar

Para xsin⁡xx \sin x hay dos opciones. Derivar xx da 1, que simplifica el integrando, mientras que integrar xx daría x22\frac{x^2}{2}, que lo complica. Con el seno ocurre algo parecido: derivarlo o integrarlo lo cambia por coseno, solo con una diferencia de signo. Por eso conviene tomar g=xg = x y f′=sin⁡xf' = \sin x, de modo que f=−cos⁡xf = -\cos x y g′=1g' = 1.

Aplicación de la fórmula

Se arma [−xcos⁡x]0π/2−∫0π/2(−cos⁡x)⋅1 dx\Big[ -x\cos x \Big]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} (-\cos x) \cdot 1 \, dx, que es lo mismo que [−xcos⁡x]0π/2+∫0π/2cos⁡x dx\Big[ -x\cos x \Big]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx. La integral que quedó es de la tabla: la primitiva de cos⁡x\cos x es sin⁡x\sin x.

Evaluación

La primitiva completa es −xcos⁡x+sin⁡x-x\cos x + \sin x. En π2\frac{\pi}{2}: −π2⋅0+1=1-\frac{\pi}{2} \cdot 0 + 1 = 1. En 0: 0+0=00 + 0 = 0. El resultado de la integral es 1−0=11 - 0 = 1. Representa el área algebraica entre el eje xx y la función xsin⁡xx \sin x en ese intervalo.

Para tener presente

El criterio de elección importa: se busca que la nueva integral sea más fácil o ya conocida. Si al elegir al revés la integral resultante es más complicada, se prueba con la otra opción. Comprobá el resultado derivando −xcos⁡x+sin⁡x-x\cos x + \sin x: da xsin⁡xx \sin x.

Para repasar

Los pasos del método son cinco: identificar un producto, decidir cuál factor se integra y cuál se deriva, armar la fórmula con los dos productos, resolver la integral que queda y evaluar con Barrow. En el ejercicio de xsin⁡xx \sin x la integral nueva era ∫cos⁡x dx\int \cos x \, dx, mucho más simple que la original. Si alguna vez la integral que aparece es más difícil que la de partida, es señal de que conviene intercambiar los papeles de las dos funciones. Practicá con ∫01xex dx\int_0^1 x e^x \, dx, que da 1.