Qué aprenderás en esta clase
Integral de la parte entera de x al cuadrado entre 1 y 5, resuelta por tramos como una función escalonada: el resultado es 30.
Qué se resuelve en esta clase
Se resuelve una integral poco común: la integral entre 1 y 5 de la parte entera de , elevada al cuadrado. La parte entera de un número es lo que queda al quitarle la parte decimal: la parte entera de 1,32 es 1. El ejercicio sirve para repasar el concepto de integral como área y el cálculo de integrales de funciones definidas por tramos.
La función es escalonada
Entre 1 y 2 la parte entera de vale 1. Entre 2 y 3 vale 2, entre 3 y 4 vale 3 y entre 4 y 5 vale 4. Como el cuadrado está fuera de la parte entera, la función es en el primer tramo, en el segundo, en el tercero y en el cuarto. La gráfica es una escalera con cuatro escalones. Si el cuadrado estuviera dentro de la parte entera, habría muchos más escalones, y la cuenta sería mucho más larga.
La función definida por tramos
Se escribe como si , si , si y si . Los extremos izquierdos se incluyen y los derechos no, porque en cada número entero la parte entera «salta» al valor siguiente.
La integral se separa por intervalos
La función es discontinua en cada entero, pero son pocas discontinuidades y, por lo tanto, es integrable. Por la aditividad respecto del intervalo, la integral entre 1 y 5 es la suma de las integrales de cada tramo. En cada uno la función es una constante, y la primitiva de una constante es .
Evaluación
Se obtiene . Cada paréntesis vale 1, porque cada tramo mide una unidad. Entonces . El resultado es 30.
Comprobación geométrica
Cada escalón es un rectángulo de base 1 y altura igual al valor de la función. Las áreas son 1, 4, 9 y 16, y su suma es 30. Es el mismo resultado, y es una buena forma de verificar la integral sin calcular nada. El ejercicio muestra que una integral, aunque se escriba con una fórmula, siempre es un área.