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CÁLCULO INTEGRAL

Cambio de Variable o Sustitución – Cálculo de Integrales

Cambio de variable: la integral de coseno de x sobre la raíz de seno de x entre π/2 y π, con u igual a seno de x. El resultado es −2.

Qué aprenderás en esta clase

Cambio de variable: la integral de coseno de x sobre la raíz de seno de x entre π/2 y π, con u igual a seno de x. El resultado es −2.

Qué se resuelve en esta clase

Se estudia el cambio de variable, una técnica que transforma una integral complicada en una más simple, incluso en una de la tabla. El ejercicio de la clase es $\int_{\pi/2}^{\pi} \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} \, dx$ . A primera vista parece difícil, pero con el cambio adecuado se resuelve con la regla de la potencia.

Cómo se elige el cambio

Una pista práctica: se busca la función que está «adentro» de otra, en el lugar más complicado del integrando. Acá la raíz cuadrada está en el denominador y tiene un seno adentro, así que se prueba $u = \sin x$ . Si con esa elección no se llega a una integral fácil, se prueba otra, pero casi siempre la primera idea sirve.

El diferencial y los extremos

Si $u = \sin x$ , entonces $du = \cos x \, dx$ . Eso es justamente lo que aparece en el numerador, así que la integral queda $\int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du$ . Además hay que cambiar los extremos de integración. Cuando $x = \frac{\pi}{2}$ , $u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ . Cuando $x = \pi$ , $u = \sin \pi = 0$ . La integral nueva va de 1 a 0, y no de 0 a 1: es un error común dar vuelta los extremos.

La integral en la nueva variable

Se reescribe $\frac{1}{\sqrt{u}} = u^{-1/2}$ . La primitiva es $\frac{u^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{u}$ . Se evalúa de 1 a 0: $2\sqrt{0} - 2\sqrt{1} = 0 - 2 = -2$ .

Dos formas de usar el cambio de variable

La clase aclara que hay dos caminos. Uno es cambiar los extremos, como se hizo, y evaluar directamente en la nueva variable. El otro es calcular solo la primitiva en $u$ y después deshacer el cambio, volviendo a poner $x$ antes de evaluar. Con extremos de integración se puede elegir cualquiera de los dos, pero cuando se calcula una primitiva sin extremos, deshacer el cambio es obligatorio.

Interpretación del resultado

El resultado es negativo porque entre $\frac{\pi}{2}$ y $\pi$ el coseno es negativo, mientras que el seno es positivo, y por lo tanto la función queda por debajo del eje $x$ . Es coherente con lo visto en la primera clase: las áreas por debajo del eje son negativas.