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CÁLCULO INTEGRAL

Cálculo de Integrales por Fracciones Simples

Integración por fracciones simples con el método de la tapadita, aplicado a la integral entre 0 y 1 de 1/((x+1)(x+2)(x+3)). Resultado: (5/2)·ln 2 − (3/2)·ln 3.

Qué aprenderás en esta clase

Integración por fracciones simples con el método de la tapadita, aplicado a la integral entre 0 y 1 de 1/((x+1)(x+2)(x+3)). Resultado: (5/2)·ln 2 − (3/2)·ln 3.

Qué se resuelve en esta clase

La clase presenta la integración por fracciones simples. Cuando el integrando es una división de polinomios, se puede descomponer en una suma de fracciones sencillas, cada una de las cuales se integra con facilidad. El ejemplo es la integral entre 0 y 1 de una fracción cuyo denominador es el producto $(x+1)(x^2 + 5x + 6)$ .

Paso 1: factorizar el denominador

El factor $x + 1$ ya está en su expresión mínima. Para $x^2 + 5x + 6$ se buscan las raíces con la fórmula de segundo grado: $\frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2}$ , que da $-2$ y $-3$ . Entonces el denominador es $(x+1)(x+2)(x+3)$ , y la integral es $\int_0^1 \frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)} \, dx$ . Esto solo se puede hacer si el grado del numerador es menor que el del denominador; si no, antes hay que dividir los polinomios.

Paso 2: descomponer en fracciones simples

Como las tres raíces son simples y reales, la fracción se escribe como $\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3}$ .

Paso 3: el método de la tapadita

Para hallar cada constante se «tapa» su factor y se reemplaza $x$ por la raíz de ese factor en lo que queda. Para $A$ : se tapa $x + 1$ y se reemplaza $x = -1$ en $\frac{1}{(x+2)(x+3)}$ , que da $\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ . Para $B$ , con $x = -2$ : $\frac{1}{(-1)(1)} = -1$ . Para $C$ , con $x = -3$ : $\frac{1}{(-2)(-1)} = \frac{1}{2}$ .

Paso 4: integrar cada fracción

La primitiva de $\frac{1}{x+k}$ es $\ln|x+k|$ . La integral queda $\frac{1}{2}\ln(x+1) - \ln(x+2) + \frac{1}{2}\ln(x+3)$ , evaluada entre 0 y 1.

Paso 5: evaluar y simplificar

En 1: $\frac{1}{2}\ln 2 - \ln 3 + \frac{1}{2}\ln 4$ . En 0: $0 - \ln 2 + \frac{1}{2}\ln 3$ . Restando, y usando que $\frac{1}{2}\ln 4 = \ln 2$ , se llega a $\frac{5}{2}\ln 2 - \frac{3}{2}\ln 3$ , que vale aproximadamente 0,085. Un buen control es estimar el área con el método de Simpson: da un valor muy parecido.

Cuándo usar este método

Sirve siempre que el denominador tenga raíces reales simples. Si hay raíces repetidas o complejas, se usan otras descomposiciones que se ven más adelante. Antes de integrar, factorizá el denominador, verificá el grado y recién después descomponé.

Para repasar

Los pasos de la integración por fracciones simples son: comprobar que el grado del numerador sea menor, factorizar el denominador, plantear la descomposición, hallar las constantes con la tapadita, integrar cada término con logaritmos y evaluar. Antes de dar el resultado, estimalo: la función vale $\frac{1}{6}$ en 0 y $\frac{1}{24}$ en 1, así que el área tiene que ser un valor chico, entre 0,04 y 0,17. El resultado de 0,085 está en ese rango.