Propiedades de Potencia: Ejercicio 7

Propiedades de Potencia: Ejercicio 7

Propiedades de Potencia: Ejercicio 7. Del curso Curso de Potencias, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve el ejercicio 7 del repartido de potencias: $1 - (0{,}37)^{(x+1)(x-5)} = 0$. Es distinto de los anteriores en dos cosas: la base es un número decimal, 0,37, que no se puede expresar fácilmente como potencia de otro número, y la potencia no está sola en un lado, sino que hay que despejarla primero.

Paso a paso

Primero se despeja la potencia. Pasando el término $(0{,}37)^{(x+1)(x-5)}$ al otro lado del igual, queda $1 = (0{,}37)^{(x+1)(x-5)}$. Acá no hace falta buscar una base común, porque ya está la misma base a la derecha: basta escribir el 1 como potencia de 0,37, y 1 es $(0{,}37)^0$. La ecuación es entonces $(0{,}37)^{(x+1)(x-5)} = (0{,}37)^0$. Como la base es positiva y distinta de 1, la igualdad solo se da si los exponentes son iguales: $(x+1)(x-5) = 0$. Las soluciones son $x = -1$ y $x = 5$.

Comprobación

Con $x = -1$ el factor $(x+1)$ vale 0, el exponente es 0 y $(0{,}37)^0 = 1$, con lo cual $1 - 1 = 0$. Con $x = 5$, el factor $(x-5)$ vale 0 y ocurre lo mismo. Ambas soluciones verifican la ecuación original.

Por qué importa que la base no sea 1

Esta clase deja una idea importante: igualar exponentes es válido cuando la base es positiva y distinta de 1. Si la base fuera 1, entonces $1^{\text{cualquier cosa}} = 1$ y no habría forma de despejar el exponente. En este ejercicio la base es 0,37, que cumple la condición, y por eso el razonamiento es correcto.

Un error muy común

Algunos estudiantes intentan «bajar» el 1 y escriben que $(0{,}37)^{(x+1)(x-5)} = 1$ implica $(x+1)(x-5) = 1$, confundiendo el valor de la potencia con el valor del exponente. Lo correcto es escribir el 1 como $(0{,}37)^0$ e igualar los exponentes: entonces el producto es 0 y no 1. Ese detalle cambia por completo las soluciones, así que conviene verlo con calma en el video.

Resumen para repasar

En el ejercicio $1 - (0{,}37)^{(x+1)(x-5)} = 0$ se vio un patrón que se repite en muchos problemas: antes de igualar exponentes hay que dejar la potencia sola de un lado. Después alcanza con escribir el otro lado con la misma base. Cuando el resultado es 1 el exponente vale 0, y cuando el exponente es un producto, cada factor igualado a cero aporta una solución. Practicá el mismo procedimiento con otras bases decimales, como 0,5 o 2,5, para comprobar que el razonamiento no depende del valor de la base.