Potencia: Curso de Propiedades Ej 8

Potencia: Curso de Propiedades Ej 8

Potencia: Curso de Propiedades Ej 8. Del curso Curso de Potencias, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 8 del repartido: $\left(\frac{1}{7}\right)^{\frac{2x-4}{x-3}} = 1$. Este ejercicio combina dos temas: las potencias con base fraccionaria y las expresiones racionales en el exponente. Por eso aparece una condición que en los ejercicios anteriores no estaba: hay valores de $x$ que no se pueden usar.

Paso a paso

Como en el ejercicio anterior, el 1 se escribe como una potencia de la misma base: $1 = \left(\frac{1}{7}\right)^0$. La ecuación queda $\left(\frac{1}{7}\right)^{\frac{2x-4}{x-3}} = \left(\frac{1}{7}\right)^0$, y se igualan los exponentes: $\frac{2x-4}{x-3} = 0$. Una fracción es igual a cero cuando el numerador es cero y el denominador es distinto de cero. El numerador $2x - 4$ se anula en $x = 2$. Para ese valor, el denominador vale $2 - 3 = -1$, que no es cero, así que $x = 2$ es una solución válida.

La restricción del dominio

El exponente tiene un denominador, $x - 3$, y la expresión no está definida cuando ese denominador es cero, es decir, en $x = 3$. Ese valor queda excluido desde el principio, aunque nunca llegue a aparecer como solución. Tener presente el dominio es lo que distingue una resolución completa de una que solo hizo la cuenta.

Comprobación

Con $x = 2$, el exponente es $\frac{2 \cdot 2 - 4}{2 - 3} = \frac{0}{-1} = 0$ y $\left(\frac{1}{7}\right)^0 = 1$, que coincide con el lado derecho. La ecuación tiene una única solución.

Para tener en cuenta

Cuando el exponente es una fracción algebraica, siempre conviene anotar al principio qué valores anulan el denominador. Si al resolver aparece alguno de esos valores como solución, hay que descartarlo. En este ejercicio no ocurre, pero en otros del mismo tipo sí, y es una fuente habitual de errores en las pruebas. Mirá el video y fijate en qué momento se hace esa verificación.

Resumen para repasar

El ejercicio $\left(\frac{1}{7}\right)^{\frac{2x-4}{x-3}} = 1$ reúne tres cosas: una base fraccionaria, un exponente que es una fracción algebraica y una restricción de dominio. El procedimiento fue escribir el 1 como la base elevada a la cero, igualar los exponentes y resolver $\frac{2x-4}{x-3} = 0$, recordando que una fracción solo vale cero si se anula el numerador sin anularse el denominador. Si te quedás con una sola idea de esta clase, que sea la de revisar siempre el dominio antes de dar por buena una solución.