Potencia: Ejercicios 6

Potencia: Ejercicios 6

Potencia: Ejercicios 6. Del curso Curso de Potencias, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 6 del repartido de potencias: $\left(7^{(6-x)}\right)^{(2-x)} = 1$. Es el primer ejercicio del curso con una potencia elevada a otra potencia donde ambos exponentes dependen de $x$, y su resultado tiene una particularidad: la ecuación tiene dos soluciones.

Paso a paso

Lo primero es aplicar la propiedad de potencia de una potencia, que multiplica los exponentes: $7^{(6-x)(2-x)} = 1$. Después se escribe el 1 como una potencia de base 7, y la única forma de hacerlo es $1 = 7^0$. La ecuación queda $7^{(6-x)(2-x)} = 7^0$. Igualando exponentes se obtiene $(6-x)(2-x) = 0$. Un producto es cero cuando alguno de sus factores es cero, así que hay dos casos: $6 - x = 0$, que da $x = 6$, y $2 - x = 0$, que da $x = 2$.

Comprobación de las dos soluciones

Con $x = 6$ el exponente interno vale $6 - 6 = 0$, entonces $7^0 = 1$, y luego $1^{(2-6)} = 1^{-4} = 1$. Se cumple la igualdad. Con $x = 2$, el exponente interno es $6 - 2 = 4$, así que $7^4$ y luego $\left(7^4\right)^{0} = 1$. También se cumple. Las dos soluciones son válidas.

Por qué aparecen dos soluciones

Al desarrollar el producto $(6-x)(2-x)$ se obtiene una ecuación de segundo grado en $x$, y estas pueden tener hasta dos soluciones reales. No hay que quedarse con la primera que aparece: cada vez que el exponente resulta ser un producto o una expresión cuadrática, hay que buscar todas las raíces. Dejar una sola solución es un error habitual en los exámenes.

Para practicar

Resolvé $\left(5^{(x-3)}\right)^{(x+4)} = 1$ siguiendo el mismo método y verificá las dos soluciones reemplazando. Después, mirá el video con la resolución completa para confirmar cada paso y compararlo con el tuyo.

Resumen para repasar

Del ejercicio $\left(7^{(6-x)}\right)^{(2-x)} = 1$ quedan tres ideas para recordar. Primero, la potencia de una potencia multiplica los exponentes. Segundo, el número 1 siempre se puede escribir como la base elevada a la cero, y eso transforma una ecuación exponencial en una ecuación común. Tercero, cuando el exponente queda factoreado como un producto igual a cero, cada factor da una solución. Resolver este ejercicio sin mirar el video y encontrar las dos soluciones es una buena señal de que dominás el tema.