Potencia: Ejercicios 5

Potencia: Ejercicios 5

Potencia: Ejercicios 5. Del curso Curso de Potencias, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Esta clase resuelve el ejercicio 5 del repartido: $\frac{49^x}{7^x} = 343$. A diferencia de los anteriores, acá la incógnita aparece en una división de potencias, así que además de la base común hay que usar la propiedad del cociente de potencias.

Primer camino: llevar todo a base 7

Las tres cantidades se pueden escribir como potencias de 7: $49 = 7^2$ y $343 = 7^3$. El numerador queda $49^x = (7^2)^x = 7^{2x}$. La ecuación se transforma en $\frac{7^{2x}}{7^x} = 7^3$. Por la propiedad del cociente de potencias de igual base, los exponentes se restan: $7^{2x - x} = 7^x$. Entonces $7^x = 7^3$ y, igualando exponentes, $x = 3$.

Segundo camino: agrupar las bases

También se puede usar que, si dos potencias tienen el mismo exponente, el cociente se calcula dividiendo las bases: $\frac{49^x}{7^x} = \left(\frac{49}{7}\right)^x = 7^x$. Se llega a la misma ecuación $7^x = 343$ y de nuevo a $x = 3$. Conviene conocer los dos caminos, porque según el ejercicio uno de ellos resulta más corto.

Comprobación

Con $x = 3$: $49^3 = 117649$ y $7^3 = 343$. Dividiendo, $\frac{117649}{343} = 343$, que es justo el valor del lado derecho. La comprobación numérica sirve, pero la cuenta es más cómoda si se hace con la forma simplificada $7^3 = 343$.

Qué propiedades se usaron

En este ejercicio aparecieron tres propiedades, que conviene tener a mano: la potencia de una potencia, $(a^m)^n = a^{mn}$; el cociente de potencias de igual base, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$; y el cociente de potencias de igual exponente, $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$. Reconocer cuál de las tres conviene aplicar primero es la verdadera dificultad de los ejercicios de este repartido. Después de ver la resolución, escribí las tres propiedades de memoria y buscá en el ejercicio dónde se usó cada una.

Resumen para repasar

El ejercicio $\frac{49^x}{7^x} = 343$ mostró que hay más de un camino para llegar al resultado. Lo recomendable es resolverlo una vez por cada camino y comprobar que ambos dan $x = 3$: esa doble verificación es una buena costumbre para los exámenes, porque si dos métodos independientes coinciden, la respuesta casi seguro es correcta. Fijate también en que la incógnita desapareció del cociente al simplificar: de una ecuación con dos potencias quedó una sola potencia igualada a un número, que es la forma más simple de resolver este tipo de ejercicios.