Potencia: Ejercicios 4

Potencia: Ejercicios 4

Potencia: Ejercicios 4. Del curso Curso de Potencias, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve el ejercicio 4 del repartido de potencias: $3^x = 9^{2x+3}$. Es el primer ejercicio en el que la incógnita aparece en los dos lados con bases distintas, y por eso sirve para practicar el paso central de este tipo de ecuaciones: elegir una base común y reescribir.

Paso a paso

Las bases son 3 y 9, y 9 es $3^2$. Conviene entonces llevar todo a base 3. El lado izquierdo ya está listo: $3^x$. El lado derecho es $9^{2x+3} = (3^2)^{2x+3}$. Aplicando la propiedad de potencia de una potencia, se multiplican los exponentes: $3^{2(2x+3)} = 3^{4x+6}$. Ahora la ecuación es $3^x = 3^{4x+6}$. Como la función exponencial de base 3 es inyectiva, dos potencias de base 3 son iguales solamente si los exponentes son iguales, así que $x = 4x + 6$. Pasando $4x$ al otro lado queda $-3x = 6$ y entonces $x = -2$.

Comprobación

Con $x = -2$, el lado izquierdo es $3^{-2} = \frac{1}{9}$. El lado derecho es $9^{2(-2)+3} = 9^{-1} = \frac{1}{9}$. Los dos coinciden, así que la solución es correcta.

Un error muy común

Muchos estudiantes escriben $9^{2x+3} = 3^{2x+3}$, es decir, cambian la base pero se olvidan de ajustar el exponente. Cuando se reemplaza 9 por $3^2$ hay que multiplicar el exponente por 2. Otro error frecuente es dividir los exponentes entre sí en lugar de igualarlos. La regla es igualar, nunca dividir.

Para practicar

Probá resolver $2^{x} = 8^{x-1}$ y $5^{3x} = 25^{x+2}$ con el mismo procedimiento: base común, potencia de una potencia, igualar exponentes y comprobar. Si ves el video primero y después resolvés estos dos solo, vas a notar que el método se vuelve automático.

Resumen para repasar

El ejercicio $3^x = 9^{2x+3}$ se resuelve en cuatro movimientos: detectar que 9 es una potencia de 3, reescribir el lado derecho como $3^{4x+6}$, igualar los exponentes para obtener $x = 4x + 6$ y despejar $x = -2$. Cuando te toque un ejercicio parecido en una prueba, escribí primero la lista de potencias de la base más chica, por ejemplo 3, 9, 27 y 81, porque te ahorra tiempo y evita errores al elegir la base común. Si el número de la ecuación no aparece en esa lista, probablemente haya que usar otra base o aplicar logaritmos, que es un tema posterior.