Ejercicios 1, 2 y 3 Potencias

Ejercicios 1, 2 y 3 Potencias

Ejercicios 1, 2 y 3 Potencias. Del curso Curso de Potencias, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

En esta clase se resuelven los ejercicios 1, 2 y 3 del repartido de potencias, que son los primeros del curso y los que fijan el método para todos los demás. Los tres son ecuaciones exponenciales: ecuaciones en las que la incógnita $x$ aparece en el exponente. Los enunciados son $5^{2+3x} = 25^x$, $8^{4x+1} = 1$ y $2^x \cdot 16 = 4^{3x+5}$. La idea que los une es una sola: si dos potencias de la misma base son iguales, entonces sus exponentes también son iguales. Por eso el trabajo consiste siempre en lo mismo, escribir los dos lados de la ecuación como una única potencia de una base común y después igualar los exponentes.

Ejercicio 1: \( 5^{2+3x} = 25^x \)

El número 25 es $5^2$, así que el lado derecho se reescribe como $(5^2)^x$. Por la propiedad de potencia de una potencia, los exponentes se multiplican y queda $5^{2x}$. La ecuación pasa a ser $5^{2+3x} = 5^{2x}$. Como las bases son iguales, se igualan los exponentes: $2 + 3x = 2x$. Restando $2x$ de ambos lados y restando 2, resulta $x = -2$.

Ejercicio 2: \( 8^{4x+1} = 1 \)

Acá la clave es recordar que cualquier número distinto de cero elevado a la cero vale 1. Entonces $1 = 8^0$ y la ecuación queda $8^{4x+1} = 8^0$, de donde $4x + 1 = 0$ y $x = -\frac{1}{4}$. Es un buen ejemplo de que el exponente puede dar un número fraccionario sin que eso signifique un error.

Ejercicio 3: \( 2^x \cdot 16 = 4^{3x+5} \)

Hay que llevar todo a base 2. El 16 es $2^4$ y el 4 es $2^2$. El producto del lado izquierdo suma exponentes: $2^x \cdot 2^4 = 2^{x+4}$. El lado derecho es $(2^2)^{3x+5} = 2^{2(3x+5)} = 2^{6x+10}$. Igualando exponentes, $x + 4 = 6x + 10$, así que $-5x = 6$ y $x = -\frac{6}{5}$.

Cómo comprobar los tres resultados

Reemplazar en la ecuación original es la forma de asegurarse. Para el ejercicio 1, con $x = -2$ ambos lados valen $\frac{1}{625}$. Para el 2, el exponente se anula y el lado izquierdo vale 1. Para el 3, ambos lados valen $2^{14/5}$. Si al reemplazar los dos lados no coinciden, hay que revisar la conversión a la base común, que es donde se concentran los errores. Después de ver el video, intentá resolver cada ejercicio vos sin mirar la solución y comparar recién al final.