Propiedades de Potencias: Ejercicio 9

Propiedades de Potencias: Ejercicio 9

Propiedades de Potencias: Ejercicio 9. Del curso Curso de Potencias, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La última clase del curso resuelve el ejercicio 9 del repartido: $3^{x(x-3)} = \frac{1}{9}$. Reúne todo lo visto antes: llevar a base común, escribir una fracción como potencia de exponente negativo e igualar exponentes. Además, la ecuación que queda en el exponente es de segundo grado y se resuelve factoreando.

Paso a paso

El lado derecho es $\frac{1}{9}$. Como $9 = 3^2$ y, por definición, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, resulta que $\frac{1}{9} = 3^{-2}$. La ecuación es $3^{x(x-3)} = 3^{-2}$, y al igualar exponentes se obtiene $x(x-3) = -2$. Desarrollando, $x^2 - 3x = -2$, y pasando todo al mismo lado, $x^2 - 3x + 2 = 0$. Esta ecuación factorea como $(x-1)(x-2) = 0$, por lo que las soluciones son $x = 1$ y $x = 2$.

Comprobación

Con $x = 1$: el exponente es $1 \cdot (1-3) = -2$ y $3^{-2} = \frac{1}{9}$. Con $x = 2$: el exponente es $2 \cdot (2-3) = -2$, y de nuevo $3^{-2} = \frac{1}{9}$. Las dos soluciones sirven.

Qué aprendiste en este curso

Con este ejercicio se cierra el recorrido. En los nueve ejercicios resueltos el procedimiento fue siempre el mismo: reescribir con una base común, aplicar las propiedades de las potencias, igualar los exponentes, resolver la ecuación que queda y comprobar. Lo que cambia es el tipo de ecuación que resulta: lineal, producto igual a cero o cuadrática.

Ejercicio para practicar

El repartido incluye un décimo ejercicio sin video: $2^{(x-5)(x+6)+14} = \frac{1}{16}$. Resolvelo vos: escribí $\frac{1}{16} = 2^{-4}$, igualá los exponentes y resolvé la ecuación de segundo grado que resulta. Si el desarrollo es correcto, llegás a dos soluciones enteras. Comprobalas reemplazando en la ecuación original.

Resumen para repasar

Para resolver $3^{x(x-3)} = \frac{1}{9}$ hizo falta combinar tres herramientas: pasar una fracción a potencia con exponente negativo, igualar exponentes y resolver una ecuación de segundo grado por factoreo. Si al armar la ecuación cuadrática no te da factoreable a simple vista, podés usar la fórmula resolvente, que siempre funciona. En este caso las raíces $x = 1$ y $x = 2$ son enteras, lo que suele ser una señal de que el planteo está bien hecho. Repasá el curso completo resolviendo los diez ejercicios del repartido sin ayuda.

Consejo final

Antes de cerrar el curso, hacé una última pasada: elegí tres ejercicios del repartido, resolvelos sin mirar los videos y anotá en cuál de los pasos dudaste. Ese paso es el que más te conviene repasar.