Límite indeterminado infinito Dividido infinito 16

Límite indeterminado infinito Dividido infinito 16

Límite indeterminado infinito Dividido infinito 16. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 16 del repartido: $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2+1)}{x+1}$. Es otra indeterminación infinito sobre infinito, con un logaritmo en el numerador y un polinomio en el denominador. Se resuelve comparando los órdenes.

Detectar la indeterminación

Cuando $x$ tiende a infinito, $x^2 + 1$ tiende a infinito, y el logaritmo de infinito es infinito. En el denominador, $x + 1$ tiende a infinito. Entonces el límite es de tipo infinito sobre infinito.

Comparar los órdenes

El numerador es un logaritmo, de orden logarítmico. El denominador es un polinomio de grado 1, de orden potencial. Un logaritmo es de menor orden que cualquier polinomio, por lo que el numerador crece mucho más despacio que el denominador. Se está dividiendo un infinito pequeño por un infinito mucho más grande, y el resultado es cero.

El resultado

El límite vale 0. Hay que tener claro el criterio: cuando el numerador es de menor orden que el denominador, el cociente tiende a cero. No importa que el logaritmo tenga adentro $x^2 + 1$ en lugar de $x$: sigue siendo un logaritmo, y por lo tanto de orden logarítmico.

Comprobación numérica

Con $x = 100$: $\ln(10001) \approx 9{,}21$, dividido por 101, da 0,091. Con $x = 10000$: $\ln(100\,000\,001) \approx 18{,}42$, dividido por 10001, da 0,00184. Con $x = 1\,000\,000$: $\ln(10^{12}) \approx 27{,}63$, dividido por $10^6$, da 0,0000276. Los valores bajan hacia cero.

Una forma de verlo

Se puede razonar con el crecimiento de cada función: para multiplicar el valor de $x+1$ por 100, hay que pasar de 100 a 10000. En cambio, el logaritmo solo pasa de 9,2 a 18,4: apenas se duplica. Mientras el denominador se multiplica por 100, el numerador se duplica, y el cociente se achica rápidamente. Practicá con $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^2}$, que también da 0.

Relación con los ejercicios anteriores

Este resultado conecta con los ejercicios 7 y 10, donde se vio que un logaritmo es de menor orden que un polinomio. Allí el logaritmo perdía al restarse de un polinomio; acá pierde al dividirse. La misma jerarquía explica ambos resultados. Por eso conviene entenderla bien una vez y aplicarla en cualquier límite en el infinito, sin necesidad de recordar cada ejercicio por separado.