Indeterminación infinito sobre infinito – Ej 15

Indeterminación infinito sobre infinito – Ej 15

Indeterminación infinito sobre infinito – Ej 15. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase presenta la indeterminación infinito sobre infinito con el ejercicio 15 del repartido: $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}$. Aunque se llame infinito, el infinito no es un solo número: es un conjunto de números, y algunos son infinitamente más grandes que otros. Como no se puede decir que un infinito es más grande que otro, se habla de órdenes.

La escala de órdenes

El orden más alto es el exponencial, que ocurre cuando la variable está en el exponente. Después viene el potencial, cuando la variable está elevada a una constante, como en un polinomio $x^2$. Y el más bajo es el logarítmico, cuando la variable está afectada por un logaritmo. Entre infinitos potenciales, el de mayor grado es de mayor orden.

La regla para cocientes

Cuando el límite es de tipo infinito sobre infinito, se comparan los órdenes del numerador y del denominador. Si el numerador es de mayor orden, el límite es infinito. Si el numerador es de menor orden, el límite es cero. Si son del mismo orden, el límite es una constante, que se calcula con los coeficientes principales.

El ejercicio

Con $x \to +\infty$, el numerador $e^x$ tiende a infinito, y el denominador $x^2$ también. Es $\frac{\infty}{\infty}$. El numerador es exponencial y el denominador es potencial, de modo que el numerador es de mayor orden. El resultado es infinito. Como los dos son positivos, el límite es $+\infty$.

Por qué es razonable

Para $x = 10$: $\frac{e^{10}}{100} \approx 220{,}3$. Para $x = 20$: $\frac{e^{20}}{400} \approx 1\,213\,000$. Para $x = 30$: $\frac{e^{30}}{900} \approx 1{,}18 \times 10^{10}$. El cociente crece cada vez más rápido, y eso muestra que la exponencial supera a cualquier potencia.

Para recordar

Una exponencial siempre gana contra cualquier potencia, aunque el exponente de la potencia sea muy grande, como $x^{100}$. Y una potencia siempre gana contra un logaritmo. Practicá con $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^x}$, que da 0 porque ahora gana el denominador.

Otros ejemplos de la misma escala

Aplicando la misma jerarquía, $\frac{e^x}{x^{100}}$ también tiende a $+\infty$, porque la exponencial supera a cualquier potencia. En cambio, $\frac{x^5}{e^x}$ tiende a 0, porque ahora el exponencial está abajo. Y $\frac{x}{\ln x}$ tiende a $+\infty$, porque la potencia le gana al logaritmo. Si te acostumbrás a escribir la escala logaritmo, potencia y exponencial, cada límite de este tipo se resuelve mirando de qué lado queda cada clase.