Indeterminación infinito sobre infinito EJ. 17

Indeterminación infinito sobre infinito EJ. 17

Indeterminación infinito sobre infinito EJ. 17. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve el ejercicio 17 del repartido: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 1}{2x^2 + 10x + 23}$. Es una indeterminación infinito sobre infinito de dos polinomios del mismo grado. Es el caso en el que el límite da un número, y no infinito, y por eso es importante.

Detectar la indeterminación

Al sustituir $x = \infty$: arriba queda $3\infty^2 + 1 = \infty$, y abajo, $2\infty^2 + 10\infty + 23 = \infty$. El resultado es infinito sobre infinito. Es un error muy frecuente pensar que, como $x$ tiende a infinito, el límite tiene que ser infinito. No es así: puede dar un número cualquiera.

El truco para polinomios

Cuando $x$ tiende a infinito, un polinomio es equivalente a su término de mayor grado. Ese término es el que prevalece sobre los demás y el que determina el resultado. Entonces el numerador es equivalente a $3x^2$ y el denominador a $2x^2$. Los términos de menor grado, como el 1, el $10x$ y el 23, se vuelven despreciables.

Comparar los órdenes

Los dos polinomios son de segundo grado, así que tienen el mismo orden. Cuando los órdenes son iguales, el límite es una constante, que sale del cociente de los términos dominantes. El límite pasa a ser $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{2x^2}$.

Simplificar

Las $x^2$ se simplifican y queda $\frac{3}{2}$. El límite vale $\frac{3}{2}$, es decir, 1,5. En general, para dos polinomios del mismo grado, el límite en el infinito es el cociente de sus coeficientes principales.

Comprobación

Con $x = 1000$: $\frac{3\,000\,001}{2\,010\,023} \approx 1{,}4925$. Con $x = 1\,000\,000$: el cociente es $\approx 1{,}49999$. Los valores se acercan a 1,5 desde abajo. Practicá con $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - x}{2x^3 + 7}$, que da $\frac{5}{2}$, y con $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3+1}$, que da 0, porque el numerador es de menor grado.

Qué pasa con otros grados

Si los grados son distintos, el resultado cambia. Con numerador de menor grado, como $\frac{x^2}{x^3+1}$, el límite es 0. Con numerador de mayor grado, como $\frac{4x^3 + 1}{x^2 + 5}$, el límite es $+\infty$, y si el coeficiente principal fuera negativo, como en $\frac{-4x^3}{x^2}$, sería $-\infty$. Estos tres casos, grado menor, igual y mayor, son los únicos posibles para el cociente de dos polinomios en el infinito, y reconocerlos permite resolver este tipo de límites en segundos.