Indeterminación cero por Infinito – Ej.14

Indeterminación cero por Infinito – Ej.14

Indeterminación cero por Infinito – Ej.14. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve el ejercicio 14 del repartido: $\lim_{x \to 0^+} x \cdot e^{1/x}$. Es de tipo cero por infinito, pero a diferencia del ejercicio 12, el factor que tiende a cero no admite ningún equivalente. Hay que usar otra estrategia: pasar ese factor dividiendo como su inverso, y convertir el límite en uno de infinito sobre infinito.

Detectar la indeterminación

Cuando $x$ tiende a 0 por la derecha, el factor $x$ tiende a 0. Y $\frac{1}{x}$ tiende a $+\infty$, de modo que $e^{1/x}$ también tiende a $+\infty$. Entonces el límite es de tipo cero por infinito. El factor que tiende a cero es simplemente $x$, para el cual no hay un equivalente útil.

Pasar el factor dividiendo

Si un factor $a$ tiende a cero, se puede escribir $a = \frac{1}{1/a}$. Acá, $x = \frac{1}{1/x}$. Entonces el límite pasa a ser $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x}}{1/x}$. Ahora el numerador tiende a $+\infty$ y el denominador, $\frac{1}{x}$, también tiende a $+\infty$: es una indeterminación infinito sobre infinito.

Comparar órdenes

Se compara el orden del numerador y del denominador. El numerador es una exponencial y el denominador es un polinomio en $\frac{1}{x}$, de grado 1. Como el orden exponencial es mayor que el potencial, el numerador gana, y el límite es infinito. Los dos son positivos, por lo tanto el resultado es $+\infty$.

Interpretación

El resultado dice que, cerca de 0 por la derecha, la función crece sin límite, aunque uno de los factores sea $x$, que se hace muy chico. La exponencial $e^{1/x}$ crece mucho más rápido de lo que $x$ decrece. Es un buen ejemplo de que $0 \cdot \infty$ no tiene un valor fijo: depende de cuál de los dos factores «gana».

Comprobación

Con $x = 0{,}1$: $0{,}1 \cdot e^{10} \approx 2202{,}6$. Con $x = 0{,}05$: $0{,}05 \cdot e^{20} \approx 24\,258\,000$. Los valores crecen de forma explosiva, lo que confirma el resultado. Antes de la próxima clase, repasá la escala de órdenes de los infinitos.

El límite por la izquierda

Conviene preguntarse qué ocurre del otro lado. Si $x$ tiende a 0 por la izquierda, entonces $\frac{1}{x}$ tiende a $-\infty$ y $e^{1/x}$ tiende a 0. El producto $x \cdot e^{1/x}$ es entonces $0 \cdot 0 = 0$, y no hay indeterminación. Entonces el límite por la derecha es $+\infty$ y el límite por la izquierda es 0: como no coinciden, el límite de la función en 0 no existe. Por eso el enunciado pide específicamente el límite por la derecha.