Indeterminación infinito por cero – Equivalentes EJ. 12

Indeterminación infinito por cero – Equivalentes EJ. 12

Indeterminación infinito por cero – Equivalentes EJ. 12. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase presenta la indeterminación cero por infinito con el ejercicio 12 del repartido: $\lim_{x \to +\infty} \left(e^{1/x} - 1\right) \cdot x$. En este tipo de indeterminación, lo primero es ver si el factor que tiende a cero admite uno de los equivalentes que se usaron en las indeterminaciones cero sobre cero. Si es así, se lo aplica.

Detectar la indeterminación

Cuando $x$ tiende a infinito, $\frac{1}{x}$ tiende a 0, $e^{1/x}$ tiende a 1, y entonces $e^{1/x} - 1$ tiende a 0. El otro factor es $x$, que tiende a infinito. El límite es de tipo cero por infinito.

Aplicar el equivalente

El factor que tiende a cero es $e^{1/x} - 1$. Como el exponente $\frac{1}{x}$ tiende a cero, vale el equivalente de la exponencial: $e^{f} - 1 \sim f$. Entonces $e^{1/x} - 1$ se reemplaza por $\frac{1}{x}$. El otro factor se deja tal cual. El límite pasa a ser $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot x$.

Resolver

Al simplificar, $\frac{1}{x} \cdot x = 1$, de modo que el límite vale 1. Se resolvió una indeterminación cero por infinito aplicando el equivalente solamente al factor que tendía a cero.

Comprobación numérica

Con $x = 100$: $e^{0{,}01} - 1 \approx 0{,}01005$, y multiplicado por 100 da 1,005. Con $x = 10000$: $e^{0{,}0001} - 1 \approx 0{,}000100005$, multiplicado por 10000 da 1,00005. Los valores se acercan a 1.

Cuándo se puede usar este camino

Este camino funciona cuando el factor que tiende a cero es de la forma de alguno de los equivalentes: exponencial menos 1, logaritmo de algo que tiende a 1, o seno de algo que tiende a 0. Si no se puede aplicar un equivalente, hay que pasar el factor que tiende a cero dividiendo como su inverso y resolver por órdenes, como se ve en un ejercicio posterior. Practicá con $\lim_{x \to \infty} x \cdot \sin\frac{2}{x}$: el seno es equivalente a $\frac{2}{x}$, y el límite es 2.

Otro ejemplo parecido

Para practicar, resolvé $\lim_{x \to \infty} x \cdot \ln\left(1 + \frac{3}{x}\right)$. El logaritmo tiene su argumento tendiendo a 1, así que $\ln f \sim f - 1$, con $f - 1 = \frac{3}{x}$. El límite es $x \cdot \frac{3}{x} = 3$. Comprobalo con $x = 1000$: $1000 \cdot \ln(1{,}003) \approx 2{,}9955$.