Indeterminación infinito por cero – EJ. 13

Indeterminación infinito por cero – EJ. 13

Indeterminación infinito por cero – EJ. 13. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 13 del repartido: $\lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(\frac{x-1}{x+1}\right) \cdot (x+1)$. Es más complicado que el anterior porque aparecen dos indeterminaciones, una dentro de la otra, y hay que resolverlas en orden.

Primera indeterminación: dentro del logaritmo

Cuando $x$ tiende a infinito, $x - 1$ tiende a infinito y $x + 1$ también, así que el argumento del logaritmo es de tipo infinito sobre infinito. Se comparan órdenes: los dos son polinomios del mismo grado, así que el cociente tiende al cociente de los términos de mayor grado, $\frac{x}{x} = 1$. Entonces el logaritmo tiende a $\ln 1 = 0$.

Segunda indeterminación: cero por infinito

El primer factor tiende a cero y el segundo, $x + 1$, tiende a infinito. Es de tipo cero por infinito. El factor que tiende a cero es un logaritmo cuyo argumento tiende a 1, así que se puede aplicar el equivalente del logaritmo: $\ln f \sim f - 1$. Se reemplaza el logaritmo por $\frac{x-1}{x+1} - 1$.

Operar el paréntesis

Para calcular $\frac{x-1}{x+1} - 1$ se hace denominador común: $\frac{x - 1 - (x+1)}{x+1} = \frac{-2}{x+1}$. Entonces el límite pasa a ser $\lim_{x \to \infty} \frac{-2}{x+1}\cdot(x+1)$.

Simplificar y resolver

El factor $(x+1)$ aparece multiplicando y dividiendo, y se simplifica. Queda $\lim_{x \to \infty} (-2) = -2$. El resultado del límite es $-2$.

Qué se aprende

El ejercicio muestra una forma de trabajo: resolver primero lo que está adentro, para saber a qué tiende cada parte; después identificar qué indeterminación queda y qué equivalente se puede usar. Como cada indeterminación se levanta con una técnica distinta, conviene escribir cada paso en un renglón.

Comprobación

Con $x = 1000$: $\ln\frac{999}{1001} \approx -0{,}0020000$, y multiplicado por 1001 da $-2{,}002$. El valor está muy cerca de $-2$, y se acerca más a medida que $x$ crece.

Cómo ordenar el trabajo

Cuando un límite tiene dos indeterminaciones encadenadas, conviene escribir cada una en un renglón. Primero se resuelve la de adentro, el cociente $\frac{x-1}{x+1}$, para saber que tiende a 1. Después se reconoce la forma $0 \cdot \infty$ de afuera. Por último se aplica el equivalente al factor que tiende a cero y se opera el paréntesis con denominador común. Si el equivalente se aplicara antes de resolver lo de adentro, el planteo estaría mal. Este orden, de adentro hacia afuera, es el que conviene seguir.