Indeterminación infinito menos infinito. Ej. 11

Indeterminación infinito menos infinito. Ej. 11

Indeterminación infinito menos infinito. Ej. 11. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 11 del repartido: $\lim_{x \to \infty} \left( x - \frac{x^2+1}{x-1} \right)$. Es una indeterminación infinito menos infinito, pero con una diferencia: los dos términos son del mismo orden, así que la comparación de órdenes no alcanza y hay que usar la operatoria matemática de siempre: factor común, denominador común, conjugado.

Detectar la indeterminación

El primer término, $x$, tiende a infinito. El segundo es una división $\frac{x^2+1}{x-1}$, que es del tipo infinito sobre infinito. Como el numerador es de mayor orden que el denominador, el cociente también tiende a infinito. Entonces queda infinito menos infinito. Además, ambos términos son equivalentes a un polinomio de grado 1: el cociente tiene grado $2 - 1 = 1$. Por eso son del mismo orden.

La técnica: denominador común

Cuando una resta incluye fracciones, casi siempre se resuelve con denominador común. Se multiplica cruzado: $x \cdot (x-1)$ por un lado, y $x^2 + 1$ por el otro, todo sobre $x - 1$. El límite queda $\lim_{x \to \infty} \frac{x(x-1) - (x^2+1)}{x-1}$.

Simplificar el numerador

Se distribuye: $x(x-1) = x^2 - x$. Entonces el numerador es $x^2 - x - x^2 - 1$, y los términos $x^2$ se cancelan, quedando $-x - 1$. El límite es $\lim_{x \to \infty} \frac{-x - 1}{x - 1}$. Esta expresión es de tipo infinito sobre infinito, pero ya es una división de polinomios del mismo grado.

Resolver

En un cociente de polinomios cuando $x$ tiende a infinito, cada polinomio es equivalente a su término de mayor grado. Arriba es $-x$ y abajo es $x$. El cociente de $-x$ sobre $x$ es $-1$. El límite vale $-1$.

Comprobación

Con $x = 1000$: $1000 - \frac{1000001}{999} = 1000 - 1001{,}001 = -1{,}001$, muy cerca de $-1$. Con $x = 100000$, el resultado es $-1{,}00001$. La conclusión es que, cuando aparecen fracciones en una resta de infinitos, hay que hacer denominador común antes de pensar en cualquier otro recurso.

Qué dice la gráfica

La función del ejercicio, $f(x) = x - \frac{x^2+1}{x-1}$, se puede escribir como $\frac{-x-1}{x-1}$. Es una hipérbola con una asíntota horizontal en $y = -1$, que es el valor del límite, y una asíntota vertical en $x = 1$, donde el denominador se anula. Así, el límite en el infinito no es un cálculo aislado: es la ecuación de una de las rectas que acompañan a la gráfica.