Indeterminación infinito menos infinito. Ej. 7 y 8

Indeterminación infinito menos infinito. Ej. 7 y 8

Indeterminación infinito menos infinito. Ej. 7 y 8. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se estudia la indeterminación infinito menos infinito: una resta de dos términos que, por separado, tienden a infinito. No se sabe a simple vista cuál es más grande, o si son del mismo tamaño. Se resuelven los ejercicios 7 y 8 del repartido, que son de distinto orden, y por eso se resuelven comparando los órdenes de los infinitos.

La jerarquía de los infinitos

Hay una escala: un infinito exponencial es de mayor orden que uno potencial, y este es de mayor orden que uno logarítmico. Dentro de los potenciales, el de mayor grado es de mayor orden. Cuando dos términos de distinto orden se restan, el resultado lo decide el de mayor orden, con su signo.

Ejercicio 7: x al cubo menos logaritmo de x, cuando x tiende a más infinito

Al sustituir queda $\infty^3 - \ln(\infty) = \infty - \infty$, indeterminado. Pero el primer término es un polinomio y el segundo es un logaritmo, y el polinomio es de mayor orden. Predomina entonces $x^3$, que es positivo: el límite es $+\infty$.

Ejercicio 8: x menos logaritmo del valor absoluto de x, cuando x tiende a menos infinito

Acá $x \to -\infty$, de modo que $x$ tiende a $-\infty$. El valor absoluto $|x|$ tiende a $+\infty$, y su logaritmo también. Queda $-\infty - (+\infty)$: el primer término tiende a $-\infty$ y el segundo, que resta, también aporta hacia $-\infty$. En rigor, acá los dos términos empujan en el mismo sentido, de modo que no hay una verdadera indeterminación y el resultado es $-\infty$. El video lo resuelve igual con el criterio de órdenes: predomina el de mayor orden, el polinomio $x$, con su signo negativo.

Por qué es importante la comparación

Es un error pensar que $\infty - \infty = 0$. Dos infinitos pueden restarse y dar infinito, un número o cero, según el caso. Comparar los órdenes permite decidir cuando son distintos. Cuando son del mismo orden, hay que recurrir a otras técnicas, como se ve en las clases siguientes.

Para tener presente

Antes de responder, escribí los dos términos y marcá cuál es de mayor orden. Después fijate qué signo tiene en el límite. Practicá con $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - \ln x)$, que da $+\infty$, y con $\lim_{x \to +\infty} (\ln x - x)$, que da $-\infty$.