Cálculo de Límite indeterminado infinito menos infinito.

Cálculo de Límite indeterminado infinito menos infinito.

Cálculo de Límite indeterminado infinito menos infinito.. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase continúa con la indeterminación infinito menos infinito de distinto orden y resuelve dos ejercicios más del repartido, el 9 y el 10. Se trata de la resta de dos términos que por separado dan infinito, y se resuelven comparando los órdenes.

Ejercicio 9: x al cuadrado menos e elevado a x, cuando x tiende a infinito

Al sustituir queda $\infty^2 - e^{\infty} = \infty - \infty$, que es una indeterminación. Se comparan los órdenes: el polinomio $x^2$ es de menor orden que la exponencial $e^x$. Como la exponencial es la que está restando y es de mayor orden, el resultado lo decide ella, con su signo negativo: el límite es $-\infty$. En números, con $x = 20$, $x^2 = 400$ y $e^{20} \approx 485{,}2$ millones: la diferencia es enorme y negativa.

Ejercicio 10: x menos logaritmo de x, cuando x tiende a infinito

Otra vez infinito menos infinito. Acá el que resta es un logaritmo, que es de menor orden que el polinomio $x$. Queda el infinito de mayor orden con su signo, que es positivo: el límite es $+\infty$. Con $x = 1000$, el valor es $1000 - \ln 1000 \approx 993$, y sigue creciendo sin cota.

La regla que resume los dos ejercicios

Cuando queda infinito menos infinito, se comparan los órdenes. Si son de distinto orden, queda el término de mayor orden con su signo. Esta regla explica los dos resultados: en el ejercicio 9, la exponencial gana y está restando, así que da menos infinito; en el ejercicio 10, el polinomio gana y suma, así que da más infinito.

Cuidado con el signo

El error más frecuente es olvidar el signo del término dominante. En $x^2 - e^x$, el término dominante es $e^x$, pero entra restando, y por eso el resultado es negativo. Antes de escribir la respuesta, repasá cuál de los dos términos domina y con qué signo aparece en la expresión original.

Para practicar

Resolvé $\lim_{x \to \infty} (e^x - x^5)$, que da $+\infty$, y $\lim_{x \to \infty} (\ln x - \sqrt{x})$, que da $-\infty$, porque la raíz, un potencial, es de mayor orden que el logaritmo.