Indeterminación 0 sobre 0 Seno Ej. 6

Indeterminación 0 sobre 0 Seno Ej. 6

Indeterminación 0 sobre 0 Seno Ej. 6. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve el ejercicio 6 del repartido: $\lim_{x \to 1} \frac{\sin(x-1)}{x-1}$. Es otro caso de cero sobre cero, esta vez con una función trigonométrica. Como dice el video, si se razona con calma, el límite no es tan complicado como parece al principio.

Detectar la indeterminación

Al sustituir $x = 1$, el argumento del seno es $1 - 1 = 0$, y $\sin(0) = 0$. El denominador es también $1 - 1 = 0$. Queda cero sobre cero, y uno de los ceros viene de un seno.

El equivalente del seno

Si una función $f(x)$ tiende a cero, entonces $\sin f(x)$ es equivalente a $f(x)$. Esto se puede ver en el gráfico del seno: cerca del origen, la curva es casi una recta de pendiente 1, y por eso $\sin(t) \approx t$ para valores pequeños de $t$. Lo que debe tender a cero es toda la función que está dentro del seno, que acá es $x - 1$, y no necesariamente la variable $x$.

Aplicar el equivalente

Se reemplaza $\sin(x-1)$ por $x - 1$. El límite queda $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x-1}$. Los dos factores son iguales y se simplifican, dando $\lim_{x \to 1} 1 = 1$. El resultado es 1.

Relación con el límite notable

Este ejercicio es una versión con corrimiento del límite fundamental $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$: basta llamar $t = x - 1$, que tiende a cero cuando $x$ tiende a 1. Es uno de los límites más importantes de todo el cálculo, y es la base de la derivada del seno.

Una regla de método

Cada vez que aparece una indeterminación cero sobre cero, hay que verificar primero qué tipo de funciones intervienen: si hay exponenciales, logaritmos, senos o raíces. Y después aplicar el equivalente correspondiente. Practicá con $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}$, que da 5, y con $\lim_{x \to 2} \frac{\sin(x^2-4)}{x-2}$, que da 4.

Un caso con dos senos

Los equivalentes también permiten resolver límites con dos senos. Para $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\sin(5x)}$, los dos argumentos tienden a cero, así que se reemplaza $\sin(3x)$ por $3x$ y $\sin(5x)$ por $5x$. El cociente es $\frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$. Comprobalo con $x = 0{,}001$: el cociente da $\frac{0{,}0029999955}{0{,}004999979} \approx 0{,}6$.