Cálculo de Límites Indeterminados 0/0 – Raíz Cuadrada

Cálculo de Límites Indeterminados 0/0 – Raíz Cuadrada

Cálculo de Límites Indeterminados 0/0 – Raíz Cuadrada. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 5 del repartido: $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x-5} - \sqrt{x+1}}{x - 3}$. Es una indeterminación de tipo cero sobre cero en la que el numerador es una resta de raíces cuadradas. La técnica es multiplicar por el conjugado.

Detectar la indeterminación

Con $x = 3$: $\sqrt{3\cdot 3 - 5} = \sqrt{4} = 2$ y $\sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$, así que el numerador es $2 - 2 = 0$. El denominador es $3 - 3 = 0$. Queda cero sobre cero.

El conjugado

Para una resta de raíces $\sqrt{a} - \sqrt{b}$, el conjugado es la suma $\sqrt{a} + \sqrt{b}$. Al multiplicarlos se obtiene la diferencia de cuadrados: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b$, y las raíces desaparecen. Se multiplica y se divide el límite por el conjugado, lo cual no cambia su valor.

Aplicar la técnica

El numerador queda $(3x - 5) - (x + 1) = 2x - 6$. El denominador pasa a ser $(x-3)\left(\sqrt{3x-5} + \sqrt{x+1}\right)$. El límite es entonces $\lim_{x \to 3} \frac{2x - 6}{(x-3)\left(\sqrt{3x-5} + \sqrt{x+1}\right)}$. Importa aclarar que este paso no resuelve el límite, que sigue dando cero sobre cero, pero cambia su forma: ahora el cero de arriba viene de un polinomio.

Factorizar y simplificar

El numerador se factoriza sacando factor común 2: $2x - 6 = 2(x-3)$. El factor $(x-3)$ aparece arriba y abajo y se simplifica. Queda $\lim_{x \to 3} \frac{2}{\sqrt{3x-5} + \sqrt{x+1}}$.

Calcular

Se sustituye $x = 3$ en lo que quedó: $\frac{2}{\sqrt{4} + \sqrt{4}} = \frac{2}{2+2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. El límite vale $\frac{1}{2}$.

Cuándo usar el conjugado

El conjugado se usa cuando hay una resta o suma de raíces, y la indeterminación no se resuelve por otro camino. Si después del conjugado no aparece una forma simplificable, hay un error en el planteo. Practicá con $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$: al multiplicar por el conjugado queda $\frac{1}{\sqrt{x}+2}$, que vale $\frac{1}{4}$.

Un segundo ejemplo y un recaudo

Para practicar, resolvé $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5} - \sqrt{2x+1}}{x - 4}$. En $x = 4$, las dos raíces valen 3 y el numerador se anula. Multiplicando por el conjugado, el numerador queda $(x+5) - (2x+1) = -x + 4 = -(x-4)$, y el denominador, con la suma de raíces, vale $3 + 3 = 6$ en el límite. El resultado es $-\frac{1}{6}$. Un recaudo: el conjugado hay que aplicarlo a todo el numerador y al denominador. No alcanza con multiplicar solo arriba, porque se cambiaría el valor del cociente.