Indeterminación 0 sobre 0 Resolución del Ejercicio 2

Indeterminación 0 sobre 0 Resolución del Ejercicio 2

Indeterminación 0 sobre 0 Resolución del Ejercicio 2. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase presenta el primer tipo de indeterminación, cero sobre cero, con el ejercicio 2 del repartido: el límite cuando $x$ tiende a 2 de $\frac{x^2 - 4}{2x - 4}$. Es un cociente de polinomios, y es el caso que primero hay que estudiar, porque las demás indeterminaciones de este tipo terminan reduciéndose a él.

Detectar la indeterminación

Se sustituye $x = 2$. En el numerador, $2^2 - 4 = 0$. En el denominador, $2 \cdot 2 - 4 = 0$. Queda $\frac{0}{0}$, que no es un resultado: es una forma indeterminada, y el límite puede valer cualquier cosa. Hay que transformar la expresión para eliminar el cero.

La técnica: factorizar

Si el valor $x = 2$ anula un polinomio, entonces 2 es una raíz de ese polinomio, y el polinomio tiene el factor $(x - 2)$. Por lo tanto, se factoriza el numerador y el denominador. El numerador $x^2 - 4$ es una diferencia de cuadrados, que se factoriza como $(x-2)(x+2)$. En el denominador se puede sacar factor común 2: $2x - 4 = 2(x-2)$. Si el polinomio fuera más complejo, se podría usar la regla de Ruffini para encontrar sus factores.

Simplificar y calcular

El límite queda $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{2(x-2)}$. El factor $(x-2)$ aparece arriba y abajo: es el que hacía que el límite diera cero sobre cero. Como $x$ tiende a 2 pero nunca vale 2, ese factor es distinto de cero y se puede simplificar. Queda $\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{2} = \frac{4}{2} = 2$. El límite, que a primera vista estaba indeterminado, vale 2.

Comprobación

Con valores cercanos, $x = 2{,}01$ da $\frac{4{,}0401 - 4}{0{,}02} = \frac{0{,}0401}{0{,}02} \approx 2{,}005$, y $x = 1{,}99$ da $\frac{-0{,}0399}{-0{,}02} \approx 1{,}995$. Ambos se acercan a 2. Practicá con $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$: da 6.

Errores frecuentes y práctica

El error más común es simplificar «a ojo»: tachar $x^2$ con $2x$ o el 4 con el 4, que no son factores sino términos de una suma o resta. Solo se puede simplificar lo que multiplica a toda la expresión del numerador y del denominador, y por eso hay que factorizar primero. Otra pauta útil: la indeterminación cero sobre cero indica que el numerador y el denominador comparten un factor, que es justo $(x - a)$, donde $a$ es el valor al que tiende $x$. Para practicar, resolvé $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$: el numerador se factoriza como $(x-2)(x-3)$, y el límite es $-1$.