Resolución del Ejercicio 1 del Repartido Cálculo de Límites

Resolución del Ejercicio 1 del Repartido Cálculo de Límites

Resolución del Ejercicio 1 del Repartido Cálculo de Límites.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve el ejercicio 1 del repartido: el límite de $3x + 1$ cuando $x$ tiende a 2. Es un cálculo detallado, pensado para entender qué significa que $x$ tiende a un valor por la izquierda o por la derecha. Se construye además la representación gráfica, para que se vea el significado geométrico. Aunque la función es una recta y el resultado se puede obtener reemplazando, se hace como si no se conociera su forma, para ver cómo se comporta la función cerca de 2.

Acercarse a 2 por la izquierda

Se toman valores menores que 2 cada vez más cercanos: con $x = 1{,}8$, la función da $3 \cdot 1{,}8 + 1 = 6{,}4$. Con $x = 1{,}9$, da 6,7. Con $x = 1{,}99$, da 6,97, y con $x = 1{,}9999$, da 6,9997. A medida que $x$ se acerca a 2, el resultado se aproxima a 7. Entonces el límite lateral por izquierda es 7, y se escribe $\lim_{x \to 2^-}(3x+1) = 7$. En el gráfico, la función viene creciendo desde la izquierda y se aproxima al valor 7.

Acercarse a 2 por la derecha

Se repite el procedimiento con valores un poco mayores que 2. Con $x = 2{,}1$, da 7,3. Con $x = 2{,}01$, da 7,03, y con $x = 2{,}0001$, da 7,0003. Los valores se acercan otra vez a 7. El límite lateral por derecha también es 7: $\lim_{x \to 2^+}(3x+1) = 7$.

La condición de existencia del límite

Un límite existe en un punto cuando el límite por la izquierda y el límite por la derecha son iguales. Acá los dos valen 7, así que existe el límite de la función cuando $x$ tiende a 2, y su valor es 7. El ejercicio del repartido pide el lateral por izquierda, y el resultado es el mismo.

Por qué importan los laterales

En esta función los dos laterales coinciden, pero hay funciones en las que no. Por ejemplo, la función $\frac{1}{x}$ cuando $x$ tiende a 0 se va a $+\infty$ por la derecha y a $-\infty$ por la izquierda, y por eso no tiene límite en 0. Calcular los dos laterales es la manera de decidir si un límite existe.

Para practicar

Hacé una tabla de valores para $\lim_{x \to 3} (2x - 1)$, acercándote por los dos lados: los resultados se aproximan a 5. Con eso ya tenés el procedimiento básico, que se necesita antes de enfrentar las indeterminaciones de las clases siguientes.