Indeterminación 0 dividido 0 exponencial.

Indeterminación 0 dividido 0 exponencial.

Indeterminación 0 dividido 0 exponencial.. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se estudia la indeterminación cero sobre cero cuando uno de los ceros viene de una función exponencial. El límite es $\lim_{x \to 2} \frac{e^{2x-4} - 1}{x - 2}$, que corresponde al ejercicio 3 del repartido. La herramienta nueva de esta clase se llama equivalente.

El equivalente de la exponencial

Si una función $f(x)$ tiende a cero, entonces $e^{f(x)} - 1$ es equivalente a $f(x)$. Esto significa que, dentro de un límite y cuando se trata de un factor o de un cociente, se puede reemplazar $e^{f(x)} - 1$ por $f(x)$. Es importante notar que la condición es que tienda a cero todo el exponente, y no que $x$ tienda a cero.

Detectar y aplicar

Al sustituir $x = 2$: el exponente es $2 \cdot 2 - 4 = 0$, $e^0 = 1$, y $1 - 1 = 0$ en el numerador. El denominador es $2 - 2 = 0$. Es $\frac{0}{0}$, y uno de los ceros proviene de una exponencial. Como el exponente $2x - 4$ tiende a 0, se aplica el equivalente: el numerador $e^{2x-4} - 1$ se reemplaza por el exponente, $2x - 4$. El límite pasa a ser $\lim_{x \to 2} \frac{2x - 4}{x - 2}$.

Terminar con polinomios

La expresión sigue siendo cero sobre cero, pero ahora es un cociente de polinomios, y eso ya se sabe resolver. Se saca factor común 2 en el numerador: $2x - 4 = 2(x-2)$. El factor $(x-2)$ se simplifica, y queda $\lim_{x \to 2} 2 = 2$. El resultado del límite es 2.

Qué se aprende

El procedimiento general es: primero verificar el tipo de operación, después identificar de dónde viene cada cero, y por último aplicar el equivalente que corresponde. En este caso apareció una exponencial, así que se usó el equivalente de la exponencial. En las próximas clases se verán los equivalentes del logaritmo y del seno.

Para practicar

Resolvé $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$. El exponente $3x$ tiende a 0, así que el numerador es equivalente a $3x$, y el límite es 3. Comprobalo con valores pequeños: $x = 0{,}001$ da $\frac{e^{0{,}003} - 1}{0{,}001} \approx 3{,}0045$.

Cuándo no se puede reemplazar

El equivalente se aplica a un factor o a un cociente completo, pero no dentro de una suma con otros términos que también tienden a cero, porque las aproximaciones se pueden «comer» el término que importa. Un ejemplo donde sí se puede: $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x^2 + x}$. El numerador es equivalente a $x$, y queda $\frac{x}{x(x+1)} = \frac{1}{x+1}$, que tiende a 1.