Indeterminación 0 dividido 0 Logaritmo

Indeterminación 0 dividido 0 Logaritmo

Indeterminación 0 dividido 0 Logaritmo. Del curso Cálculo de límites de una función, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Esta clase estudia la indeterminación cero sobre cero cuando uno de los ceros proviene de un logaritmo. El ejercicio 4 del repartido es $\lim_{x \to 2} \frac{\ln|x^2 - 3|}{x - 2}$. El equivalente que se usa es el del logaritmo.

El equivalente del logaritmo

Si una función $f(x)$ tiende a 1, entonces $\ln f(x)$ es equivalente a $f(x) - 1$. Fijate que acá la condición es distinta de la exponencial: no se pide que lo de adentro tienda a cero, sino a 1. Eso tiene sentido, porque el logaritmo de 1 es 0, y lo que se busca es que el logaritmo tienda a cero.

Detectar la indeterminación

Se sustituye $x = 2$: $2^2 - 3 = 1$, y el logaritmo de 1 es 0. El denominador es $2 - 2 = 0$. Queda $\frac{0}{0}$, y el cero del numerador proviene de un logaritmo cuyo argumento tiende a 1. Se puede aplicar el equivalente.

Aplicar el equivalente

Se reemplaza el logaritmo por lo que tiene adentro menos 1: $\ln|x^2-3| \sim (x^2 - 3) - 1 = x^2 - 4$. El límite se transforma en $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Es una división de polinomios de tipo cero sobre cero, el caso de la clase anterior.

Terminar por factorización

El numerador es una diferencia de cuadrados: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Los factores $(x-2)$ de arriba y de abajo, que eran los que daban cero, se simplifican. Queda $\lim_{x \to 2} (x+2) = 4$. El límite vale 4.

Cómo comprobarlo

Con $x = 2{,}001$: $x^2 - 3 = 1{,}004001$, $\ln(1{,}004001) \approx 0{,}003993$, y dividido por 0,001 da 3,993, cercano a 4. Con $x = 1{,}999$ también se obtiene un valor cercano a 4.

Un detalle: el valor absoluto

El valor absoluto del argumento no cambia nada en este ejercicio, porque cerca de $x = 2$ la expresión $x^2 - 3$ es positiva. Se escribe para que el dominio del logaritmo sea correcto en general. Practicá con $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x^2)}{x - 1}$: el argumento tiende a 1, el equivalente da $x^2 - 1$, y el límite es 2.

Un segundo ejemplo

Para consolidar, resolvé $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1}$. Al sustituir queda $\frac{0}{0}$, el logaritmo tiene su argumento tendiendo a 1, así que $\ln x \sim x - 1$. El cociente pasa a ser $\frac{x-1}{x-1} = 1$, y el límite vale 1. Es un límite muy famoso, porque equivale a decir que la derivada del logaritmo en 1 es 1.