Regla de la Cadena

Regla de la Cadena

Regla de la Cadena. Del curso Derivadas de Funciones – Curso Gratis, resuelta paso a paso.

Qué es la regla de la cadena

La regla de la cadena sirve para derivar funciones compuestas, es decir, funciones en las que la variable $x$ de una función simple es ocupada por otra función. Si $h(x) = f(g(x))$, la derivada es $$h'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)$$ Dicho en palabras: la derivada de $f$ evaluada en la función $g$ sin derivar, multiplicada por la derivada de $g$.

Un ejemplo para entenderla

Se parte de dos funciones simples. La primera es $f(x) = \sin(x)$, cuya derivada es $\cos(x)$. La segunda es $g(x) = x^3 + 1$, cuya derivada es $3x^2$. Ahora se arma la composición $h(x) = \sin(x^3 + 1)$, donde $g(x)$ ocupó el lugar de la $x$.

Aplicar la regla

La derivada de $f$ es el coseno, y se lo evalúa en $g(x)$, es decir, $\cos(x^3+1)$. Eso se multiplica por la derivada de lo que está adentro, $3x^2$. El resultado es $$h'(x) = \cos(x^3+1)\cdot 3x^2$$

La regla en toda la tabla

Todas las reglas de la tabla con $U(x)$ son aplicaciones de la regla de la cadena. Por eso, la derivada de $e^{U(x)}$ es $U'(x)e^{U(x)}$, y la de $\log|U(x)|$ es $\frac{U'(x)}{U(x)}$. No hay que aprender cada una por separado: basta con recordar que siempre se deriva «de afuera hacia adentro» y se multiplica por la derivada de lo de adentro.

Funciones compuestas varias veces

Si hay más de dos funciones anidadas, la regla se aplica tantas veces como haga falta. Por ejemplo, $\sin\left(e^{x^2}\right)$ tiene tres capas: el seno, la exponencial y el cuadrado. La derivada es $\cos\left(e^{x^2}\right)\cdot e^{x^2}\cdot 2x$.

Para practicar

Derivá $\sin(2x+1)$, que da $2\cos(2x+1)$, y $\log|x^2+3x|$, que da $\frac{2x+3}{x^2+3x}$. En cada ejercicio, identificá primero cuál es la función de afuera y cuál la de adentro.

Un error clásico y cómo evitarlo

El error más frecuente es derivar solamente la función de afuera y olvidarse de multiplicar por la derivada de la de adentro. Por ejemplo, escribir que la derivada de $\sin(x^3+1)$ es $\cos(x^3+1)$, sin el factor $3x^2$. Una forma de evitarlo es preguntarse, después de aplicar cada regla: ¿lo de adentro es solamente $x$? Si no lo es, hay que multiplicar por su derivada. En el ejemplo de la clase, el argumento $x^3+1$ no es $x$, por lo que el factor $3x^2$ es obligatorio.