Como DERIVAR División con Logaritmo

Como DERIVAR División con Logaritmo

Como DERIVAR División con Logaritmo. Del curso Derivadas de Funciones – Curso Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve el ejercicio 22 del repartido: $f(x) = \frac{3 - 2x}{\log|x|}$. Es una división en la que el denominador es un logaritmo. Se aplica la regla del cociente y después se trabaja en simplificar, porque en este ejemplo aparece una fracción dentro de otra.

Identificar numerador y denominador

El numerador es $U(x) = 3 - 2x$, con derivada $U'(x) = -2$: la derivada de 3 es cero y la de $-2x$ es $-2$. El denominador es $V(x) = \log|x|$, con derivada $V'(x) = \frac{1}{x}$.

Aplicar la fórmula

La derivada del numerador, $-2$, se multiplica por el denominador, $\log|x|$. A eso se le resta el numerador, $3 - 2x$, multiplicado por la derivada del denominador, $\frac{1}{x}$. Todo se divide por $\log^2|x|$: $$f'(x) = \frac{-2\log|x| - (3-2x)\cdot\frac{1}{x}}{\log^2|x|}$$

Eliminar la fracción dentro de la fracción

Para evitar una fracción sobre fracción, se hace denominador común en el numerador. El segundo término ya tiene denominador $x$; el primero no tiene, así que se lo multiplica y se lo divide por $x$. El numerador pasa a ser $\frac{-2x\log|x| - (3-2x)}{x}$. El orden de los factores no altera el producto, por eso se puede escribir $x\log|x|$ en lugar de $\log|x|\,x$.

Resultado simplificado

Cambiando los signos dentro del paréntesis, $-(3-2x) = -3 + 2x$, y pasando el $x$ al denominador, queda $$f'(x) = \frac{-2x\log|x| + 2x - 3}{x\,\log^2|x|}$$ Con esta versión simplificada se puede seguir operando para calcular las raíces y el signo.

Cómo comprobar

Una forma de controlar es evaluar con un valor. Con $x = e$, $\log(e) = 1$, y la derivada vale $\frac{-2e + 2e - 3}{e \cdot 1} = -\frac{3}{e}$. Calculándola con la fórmula original da $\frac{-2 - (3-2e)/e}{1} = -2 - \frac{3}{e} + 2 = -\frac{3}{e}$. Coinciden.

Comprobación del resultado

Con el valor $x = e^2$, el logaritmo vale 2. La fórmula original da $\frac{-2\cdot 2 - (3 - 2e^2)/e^2}{4} = \frac{-4 - 3e^{-2} + 2}{4} = \frac{-2 - 3e^{-2}}{4}$. La versión simplificada da $\frac{-2e^2\cdot 2 + 2e^2 - 3}{e^2\cdot 4} = \frac{-2e^2 - 3}{4e^2} = \frac{-2 - 3e^{-2}}{4}$. Las dos expresiones coinciden, lo que prueba que la simplificación no cambió el valor de la derivada. Siempre conviene comprobar una simplificación evaluando las dos formas en un mismo punto.

Para repasar

Este ejercicio resume lo importante de los cocientes: identificar numerador y denominador, derivarlos por separado, armar la fórmula con paréntesis en la resta y, al final, simplificar con denominador común para que quede una sola fracción. El logaritmo en el denominador obliga además a recordar que el dominio exige $x \neq 0$ y $\log|x| \neq 0$, es decir, $x \neq 1$ y $x \neq -1$.