Función y su derivada

Qué aprenderás en esta clase

La relación entre una función y su derivada: variable dependiente e independiente, con el ejemplo de la posición y la velocidad.

Variable dependiente e independiente

Una función calcula el valor de una variable dependiente a partir de otra, la variable independiente. Recordarlo es importante, porque la derivada es una relación entre las dos: cuánto cambia la dependiente cuando cambia la independiente. En un ejemplo cotidiano, si se mide la ubicación de un objeto a lo largo del tiempo, la posición es la variable dependiente, porque depende de cuánto tiempo pasó. El tiempo es la variable independiente, porque no se puede manejar directamente: pasa y listo.

La función posición

Por eso se dice que la posición está en función del tiempo, y se escribe, por ejemplo, $s(t)$ . Si el objeto se mueve con un movimiento determinado, la fórmula de $s(t)$ dice dónde está en cada instante. Por ejemplo, con $s(t) = 5t^2$ , a los 2 segundos está a 20 metros del origen.

Derivar la posición: la velocidad

Si se deriva la función posición respecto del tiempo, se calcula cómo cambia la posición con respecto al tiempo. En el lenguaje cotidiano, eso se llama velocidad. Siguiendo el ejemplo, la derivada de $s(t) = 5t^2$ es $s'(t) = 10t$ : a los 2 segundos, la velocidad es de 20 metros por segundo.

Derivar otra vez: la aceleración

La función derivada es, a su vez, una función, y se puede derivar de nuevo. La derivada de la velocidad, $s''(t)$ , mide cómo cambia la velocidad: es la aceleración. En el ejemplo, $s''(t) = 10$ , una aceleración constante. Así, derivando sucesivamente se pasa de posición a velocidad y de velocidad a aceleración.

Relación entre el gráfico y la derivada

Si la función $f$ es creciente en un intervalo, su derivada es positiva en ese intervalo. Si decrece, la derivada es negativa. Y en un punto donde pasa de crecer a decrecer, la derivada se anula. Por eso, para estudiar una función se calcula su derivada y se estudia su signo.

Para pensar

Si $f(x) = x^2$ , la derivada es $2x$ . ¿Qué dice esa derivada sobre la función? Que para $x < 0$ decrece, y para $x > 0$ crece, con el mínimo en $x = 0$ . Esa conexión entre función y derivada es lo que hace útil todo el cálculo de derivadas.